【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B,連結(jié)OA,二次函數(shù)y=x2圖象從點(diǎn)O沿OA方向平移,與直線x=2交于點(diǎn)P,頂點(diǎn)M到A點(diǎn)時停止移動.
(1)求線段OA所在直線的函數(shù)解析式;
(2)設(shè)二次函數(shù)頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,當(dāng)m為何值時,線段PB最短,并求出二次函數(shù)的表達(dá)式;
(3)當(dāng)線段PB最短時,二次函數(shù)的圖象是否過點(diǎn)Q(a,a﹣1),并說理由.
【答案】
(1)解:設(shè)直線OA的解析式為y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,解得k=2,
∴線段OA所在直線的函數(shù)解析式為y=2x;
(2)解:∵頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在OA上移動,
∴y=2m(0≤m≤2),
∴M(m,2m),
∴拋物線的解析式為y=(x﹣m)2+2m,
∴當(dāng)x=2時,y=(2﹣m)2+2m=m2﹣2m+4(0≤m≤2),
∴PB=m2﹣2m+4=(m﹣1)2+3(0≤m≤2),
∴當(dāng)m=1時,PB最短,
當(dāng)PB最短時,拋物線的解析式為y=(x﹣1)2+2;
(3)解:若二次函數(shù)的圖象是過點(diǎn)Q(a,a﹣1)
則方程a﹣1=(a﹣1)2+2有解.
即方程a2﹣3a+4=0有解,
∵△=(﹣3)2﹣4×1×4=﹣7<0.
∴二次函數(shù)的圖象不過點(diǎn)Q.
【解析】(1)利用待定系數(shù)法,由點(diǎn)A的坐標(biāo),即可求出直線OA的函數(shù)解析式。
(2)抓住已知二次函數(shù)y=x2圖象從點(diǎn)O沿OA方向平移,頂點(diǎn)M在此直線上,即可用含m的代數(shù)式表示出頂點(diǎn)M的坐標(biāo),可用頂點(diǎn)式來設(shè)二次函數(shù)的解析式,再將x=2代入拋物線的解析式中,即可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)即PB的表達(dá)式,求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)來求出PB最短時的m值。
(3)將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入y=(x﹣1)2+2,再判斷此方程是否有解,即可作出判斷。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)和確定一次函數(shù)的表達(dá)式的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握正比函數(shù)圖直線,經(jīng)過一定過原點(diǎn).K正一三負(fù)二四,變化趨勢記心間.K正左低右邊高,同大同小向爬山.K負(fù)左高右邊低,一大另小下山巒;確定一個一次函數(shù),需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b(k不等于0)中的常數(shù)k和b.解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD,點(diǎn)E在邊AD上,連接BE將△ABE沿BE翻折,得到△MBE,且點(diǎn)M是CD中點(diǎn),取BM中點(diǎn)N,點(diǎn)P為線段BE上一動點(diǎn),連接PN,PM,若AD長為2,則PM+PN的最小值為_____.
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)為A(1,2),B(-1,2),C(-1,-2),D(1,-2),點(diǎn)M和點(diǎn)N同時從E(0,2)點(diǎn)出發(fā),沿四邊形的邊做環(huán)繞勻速運(yùn)動,M點(diǎn)以1單位/s的速度做逆時針運(yùn)動,N點(diǎn)以2單位/s的速度做順時針運(yùn)動,則點(diǎn)M和點(diǎn)N第2017次相遇時的坐標(biāo)為_____.
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【題目】如圖,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CD,△ACB的頂點(diǎn)A在△ECD的斜邊上,若AE=,AD=,則BC的長為______.
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【題目】從2017年起,昆明將迎來“高鐵時代”,這就意味著今后昆明的市民外出旅行的路程與時間將大大縮短,但也有不少游客根據(jù)自己的喜好依然選擇乘坐普通列車;已知從昆明到某市的高鐵行駛路程是400千米,普通列車的行駛路程是高鐵行駛路程的1.3倍,請完成以下問題:(1)普通列車的行駛路程為________千米;(2)若高鐵的平均速度(千米/時)是普通列車平均速度(千米/時)的2.5倍,且乘坐高鐵所需時間比乘坐普通列車所需時間縮短3小時,求普通列車和高鐵的平均速度.
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【題目】如圖,CD是∠ACB的平分線,∠EDC=25,∠DCE=25,∠B=70.
(1)試證明:DE∥BC;
(2)求∠BDC的度數(shù).
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2﹣(m+3)x+2=0.
(1)證明:不論m為何值時,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)m為何整數(shù)時,方程有兩個不相等的正整數(shù)根.
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【題目】已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,P為AB上任意一點(diǎn),PF⊥AC于F,PE⊥BC于E,則EF的最小值是_____.
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