Question

1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)A（-1，0）在x軸上，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C（1，4）為拋物線上一點(diǎn)，CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸左側(cè)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PBC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的條件下，作直線AE⊥x軸，交線段CD于點(diǎn)E，連接AP、PE，當(dāng)∠APE=90°時(shí)，求tan∠PCE的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意設(shè)為頂點(diǎn)式代入點(diǎn)C即可求解；
（2）連接PC，PB，BC，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交BC于點(diǎn)Q，運(yùn)用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，表示縱坐標(biāo)y=t²+2t+1，進(jìn)一步表示線段PQ的長度，利用△PBC的面積S=S_△PCQ+S_△PQB即可求解；
（3）過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)H，構(gòu)造相似三角形△HPE∽△MAP，運(yùn)用對(duì)應(yīng)邊的比相等$\frac{PH}{AM}=\frac{HE}{PM}$，建立等量關(guān)系$\frac{3-{（t}^{2}+2t）}{-1-t}$=$\frac{-1-t}{{t}^{2}+2t+1}$，進(jìn)一步求解即可．

解答 解：（1）由拋物線的頂點(diǎn)A（-1，0），設(shè)拋物線為：y=a（x+1）²，
把點(diǎn)C（1，4）的坐標(biāo)代入得：4=a（1+1）²，
解得：a=1，
∴y=（x+1）²，
拋物線的解析式為：y=x²+2x+1．
（2）如圖1，連接PC，PB，BC，過點(diǎn)P作平行于x軸的直線交BC于點(diǎn)Q，

y=x²+2x+1，當(dāng)x=0，y=1，∴點(diǎn)B（0，1），
設(shè)直線BC解析式為：y=mx+n，
把點(diǎn)B（0，1），和點(diǎn)C（1，4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4=m+n}\\{1=n}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴y=3x+1，
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則縱坐標(biāo)為：t²+2t+1，
把y=t²+2t+1代入y=3x+1，
得：x=$\frac{{t}^{2}+2t}{3}$，
∴PQ=$\frac{{t}^{2}+2t}{3}$-t=$\frac{{t}^{2}-t}{3}$，
∴△PBC的面積為S=S_△PCQ+S_△PQB=$\frac{1}{2}$×PQ×[4-（t²+2t+1）+（t²+2t+1）-1]=$\frac{1}{2}$×PQ×（4-1）=$\frac{1}{2}$×$\frac{{t}^{2}-t}{3}$×3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t．

（3）如圖2，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交x軸于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)H，

∵CD∥x軸，
∴PH⊥CD，PM⊥x軸，
∴∠PHE=∠AMP=90°，
∵∠APE=90°，
∴∠HPE+∠APM=90°，
∵∠HPE+∠PEH=90°，
∴∠APM=∠PEH，
∴△HPE∽△MAP，
∴$\frac{PH}{AM}=\frac{HE}{PM}$，
由（2）點(diǎn)P（t，t²+2t+1），
∴AM=-1-t，PM=t²+2t+1，
∵CD∥x軸，點(diǎn)C（1，4），
∴PH=4-（t²+2t+1）=3-（t²+2t），
HE=AM=-1-t，
∴$\frac{3-{（t}^{2}+2t）}{-1-t}$=$\frac{-1-t}{{t}^{2}+2t+1}$，
解得：t=-1-$\sqrt{3}$，或t=-1+$\sqrt{3}$（舍去），
∴PH=3-（t²+2t）=1，
CH=1-（-1-$\sqrt{3}$）=2+$\sqrt{3}$，
在直角三角形PHE中：tan∠PCE=$\frac{PH}{CH}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$=2-$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了待定系數(shù)法求解析式，靈活運(yùn)用頂點(diǎn)式是求解析式的關(guān)鍵；在解決形積問題時(shí)，會(huì)運(yùn)用坐標(biāo)表示線段，會(huì)運(yùn)用已知建立數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．