Question

如圖1，△ABC中，AB=AC，過(guò)B點(diǎn)作射線(xiàn)BE，過(guò)C點(diǎn)作射線(xiàn)CF，使∠ABE=∠ACF，且射線(xiàn)BE，CF交于點(diǎn)D．過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．
（1）求證：BM=DM+DC．
（2）如圖2，將射線(xiàn)BE，CF分別繞點(diǎn)B和點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖位置，若∠ABE=∠ACF仍然成立，射線(xiàn)BE交射線(xiàn)CF的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，過(guò)A點(diǎn)作AM⊥BD于M．請(qǐng)問(wèn)（1）中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)證明．如果不成立，線(xiàn)段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）作AN⊥CF于N，連接AD，先通過(guò)△AMB≌△ANC求得BM=CN=CD+DN，AM=AN，然后通過(guò)證明RT△AMD≌RT△AND得出DM=DN，即可求得．
（2）作AN⊥CF于N，連接AD，先通過(guò)△AMB≌△ANC求得BM=CN=DN-DC，AM=AN，然后通過(guò)證明RT△AMD≌RT△AND得出DM=DN，即可求得BM=DM-DC．

解答：解：（1）作AN⊥CF于N，連接AD，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
在△AMB與△ANC中，

∠ABE=∠ACF ∠AMB=∠ADC AB=AC

∴△AMB≌△ANC（AAS）
∴BM=CN=CD+DN，AM=AN，
在Rt△AMD與RT△AND中

AM=AN AD=AD

∴RT△AMD≌RT△AND（HL）
∴DM=DN，
∴BM=CD+DM．

（2）不成立，BM=DM-DC；
作AN⊥CF于N，連接AD，
∵AM⊥BD，
∴∠AMB=∠ADC=90°，
在△AMB與△ANC中，

∠ABE=∠ACF ∠AMB=∠ADC AB=AC

∴△AMB≌△ANC（AAS）
∴BM=CN=DN-DC，AM=AN，
在Rt△AMD與RT△AND中

AM=AN AD=AD

∴RT△AMD≌RT△AND（HL）
∴DM=DN，
∴BM=DM-DC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，增添輔助線(xiàn)構(gòu)建全等三角形是本題的關(guān)鍵．