Question

如圖，∠AOB=60°，點P在∠AOB的平分線上，∠CPD=120°，PD=2，求CD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：過點P作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，作PG⊥CD于G，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PE=PF，然后求出∠CPE=∠DPF，再利用“角邊角”證明△PFD和△PEC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得PC=PD，再根據(jù)等腰三角形的兩底角相等求出∠PCD，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得PG=

1

2

PD，利用勾股定理列式求出DG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的可得CD=2DG計算即可得解．

解答：解：如圖，過點P作PE⊥OA于E，作PF⊥OB于F，作PG⊥CD于G，
∵點P在∠AOB的平分線上，
∴PE=PF，
∵∠AOB=60°，
∴∠EPF=360°-90°×2-60°=120°，
∴∠DPF=120°-∠DPE，
∵∠CPD=120°，
∴∠CPE=120°-∠DPE，
∴∠CPE=∠DPF，
在△PFD和△PEC中，

∠CPE=∠DPF PE=PF ∠CEP=∠DFP=90°

，
∴△PFD≌△PEC（ASA），
∴PC=PD，
∵∠CPD=120°，
∴∠CDP=

1

2

（180°-120°）=30°，
∴PG=

1

2

PD=

1

2

×2=1，
在Rt△PDG中，由勾股定理得，DG=

PD2-PG2

=

22-12

=

3

，
∴CD=2DG=2

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，勾股定理，熟記性質(zhì)并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．