Question

如圖，點E是正方形ABCD的邊AB的中點，連接DE，將△ADE翻折得到△FDE，延長EF交DC的延長線于點M，則CD：CM的值為

 

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Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：計算題

分析：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，CM=x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=CD=2a，MD=2a+x，由點E是正方形ABCD的邊AB的中點得AE=a，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得EF=AE=a，DF=DA=2a，∠AED=∠DEF，∠EFD=∠A=90°，由AB∥CD得到∠AED=∠MDE，所以∠DEM=∠MDE，根據(jù)等腰三角形的判定得ME=MD=2a+x，則MF=ME-EF=a+x，
在Rt△MDF中，根據(jù)勾股定理得（2a）²+（a+x）²=（2a+x）²，解得a=2x，則CD=4x，然后計算CD：CM．

解答：解：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，CM=x，則AD=CD=2a，MD=2a+x，
∵點E是正方形ABCD的邊AB的中點，
∴AE=a，
∵將△ADE翻折得到△FDE，
∴EF=AE=a，DF=DA=2a，∠AED=∠DEF，∠EFD=∠A=90°，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠MDE，
∴∠DEM=∠MDE，
∴ME=MD=2a+x，
∴MF=ME-EF=2a+x-a=a+x，
在Rt△MDF中，
∵DF²+MF²=MD²，
∴（2a）²+（a+x）²=（2a+x）²，
∴a=2x，
∴CD=4x，
∴CD：CM=4x：x=4：1．
故答案為4：1．

點評：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理．