Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=3，BD=6，求∠ACD的各個(gè)三角函數(shù)值．

Answer 1

分析 根據(jù)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，可以得到∠ACD和∠BCD的關(guān)系，根據(jù)CD=3，BD=6，可以求得BC的長(zhǎng)，從而可以求得∠B的各個(gè)三角函數(shù)值，從而可以求得∠ACD的各個(gè)三角函數(shù)值．

解答 解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，CD=3，BD=6，
∴∠ACB=∠CDB=90°，∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
∵∠CDB=90°，CD=3，BD=6，
∴$BC=\sqrt{C{D}^{2}+B{D}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，
∴$sinB=\frac{CD}{BC}=\frac{3}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$cosB=\frac{BD}{BC}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$tanB=\frac{CD}{BD}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
∴$sin∠ACD=\frac{\sqrt{5}}{5}，cos∠ACD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$tan∠ACD=\frac{1}{2}$，
即∠ACD的各個(gè)三角函數(shù)值分別是：$sin∠ACD=\frac{\sqrt{5}}{5}，cos∠ACD=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$tan∠ACD=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想將所求角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化可以求出的角的三角函數(shù)值，根據(jù)等角的三角函數(shù)值相等，即可解答所求的角的三角函數(shù)值．