Question

7．如圖，已知拋物線y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點D在拋物線上，且A（-1，0），D（2，2）．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點P，使以O(shè)、B、P為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）小明在探索該圖時提出了這樣一個猜想：“直線AD平分∠CAB”，你認(rèn)為小明的猜想正確嗎？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式；
（2）根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關(guān)于OP的方程，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，可得∠CAD=∠CDA，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC與CD的關(guān)系，根據(jù)勾股定理，可得AC的長，根據(jù)有理數(shù)的大小比較，可得AC與CD的關(guān)系．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+$\frac{4}{3}$x+c過A、D兩點，
將A（-1，0），D（2，2）代入拋物線解析式中，
得$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{4}{3}+c=0}\\{4a+\frac{8}{3}+c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2

（2）存在這樣的點P，使以O(shè)、B、P為頂點的三角形與△AOC相似，
連接AC，由y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+2，C（0，2），B（3，0），
∵∠AOC=∠BOP=90°
①當(dāng)$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OB}$時，即$\frac{1}{OP}$=$\frac{2}{3}$，
解得OP=$\frac{3}{2}$，即P₁（0，$\frac{3}{2}$），P₃（0，-$\frac{3}{2}$）此時△AOC∽△POB，
②$\frac{OA}{OB}$=$\frac{OC}{OP}$時，即$\frac{1}{3}$=$\frac{2}{OP}$，
解得OP=6，即P₂（0，6），P₄（0，-6），此時△AOC∽△BOP，
∴y軸上存在這樣的P點，P₁（0，$\frac{3}{2}$），P₃（0，-$\frac{3}{2}$），P₂（0，6），P₄（0，-6）；
（3）小明的猜想不正確．理由如下：
若AD平分∠CAB，
則∠CAD=∠BAD．
又∵CD∥x軸，
∴∠CDA=∠DAB，
∴∠CAD=∠CDA，
∴CA=CD．
實際上：CD=2，CA=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
即CD≠CA，
∴猜想不正確．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用相似三角形的判定得出關(guān)于OP的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏；利用了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定．