Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=6，BC=8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC上，點D在運動過程中始終保持
∠1=∠B．設BD的長為x（0＜x＜8）．

（1）求證：△DCE∽△ABD；
（2）用含x的代數(shù)式表示CE的長；當CE=2時，求x的值；
（3）當x為何值時，△ADE為等腰三角形．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等腰三角形的判定

專題：

分析：（1）根據等邊對等角，可以證得∠B=∠C，然后根據三角形的外角的性質，證得∠2=∠3，根據有兩個角對應相等的兩個三角形相似即可證得；
（2）根據相似三角形的對應邊的比相等，即可用列方程求得x的值；
（3）分三種情況進行討論，根據相似三角形的性質即可求解．

解答：解：（1）∵∠ADC=∠1+∠2=∠B+∠3，∠1=∠B，
∴∠2=∠3．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DCE∽△ABD；
（2）∵△DCE∽△ABD，
∴

CE

BD

=

DC

AB

，即

CE

x

=

8-x

6

，
∴CE=-

1

6

x²+

4

3

x，
∵CE=2，
∴-

1

6

x²+

4

3

x=2，
解得：x=2或6．
解這個方程，得x₁=2，x₂=6；
（3）①當DA=DE時，△DCE≌△ABD，
∴DC=AB=6，即8-x=6．解得 x=2．
②當EA=ED時，∠DAE=∠1=∠B=∠C．
∴△DAC∽△ABC．
∴

DC

AC

=

AC

BC

，即

8-x

6

=

6

8

．
解得 x=

7

2

．
③當AD=AE時，點D與點B重合，點E與點C重合，此時x=0．
（或當AD=AE時，∠1=∠AED＞∠C，
∵∠1=∠B=∠C，
∴AD=AE情況不成立．
綜上所述，當x=2或x=

7

2

時，△ADE為等腰三角形．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，以及等腰三角形的性質，正確證明△DCE∽△ABD是關鍵．