3.如圖:等邊三角形ABC和CDE,
(1)找出圖中的全等三角形;
(2)求∠AOB的度數(shù);
(3)求證:PQ∥AE.

分析 (1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DCE=∠BCA=60°,推出∠BCE=∠ACD得到△ACD≌△BCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DAC=CBE,∠ADE=∠AEB;證得△QCB≌△PCA,△ECQ≌△DCP;
(2)根據(jù)∠DAC=CBE,∠BCE=∠ECD+∠BCD=120°,即可得到結(jié)論;
(3)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CP=CQ,由∠PCQ=60°,于是得到△PCQ是等邊三角形,求得∠QPC=PCA=60°,根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論.

解答 (1)解:△ACD≌△BCE,△QCB≌△PCA,△ECQ≌△DCP,理由如下:
∵∠DCE=∠BCA=60°,
∴∠BCD=180°-60°-60°=60°,∠BCA+∠BCD=∠ECD+∠BCD,
即∠BCE=∠ACD
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$,
∴△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=CBE,∠ADE=∠AEB;
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACP=∠BCQ=60°}\\{∠CBQ=∠PAC}\end{array}\right.$,
∴△QCB≌△PCA;
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CD}\\{∠ECQ=∠DCP}\\{∠CEQ=∠CDP}\end{array}\right.$,
∴△ECQ≌△DCP;

(2)∵∠DAC=CBE,∠BCE=∠ECD+∠BCD=120°,
∠AOB=∠PAC+∠AEB=∠AEB+∠CBE=180-∠BCE=180°-120°=60°;

(3)證明:∵△ECQ≌△DCP,
∴CP=CQ,
∵∠PCQ=60°,
∴△PCQ是等邊三角形,
∴∠QPC=PCA=60°,
∴PQ∥AE.

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是全等三角形的判定、等邊三角形的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用,熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

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(3)${\sqrt{1-2tan{{60}°}+{{tan}^2}{{60}°}}^{\;}}-tan{60°}$
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