Question

6．如圖，已知點A、C、E在同一直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，M、N分別為AD、BE的中點，求證：△CMN是等邊三角形．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CD=CE，于是得到∠BCD=180°-∠BCA-∠DCE=60°，推出∠DCA=∠BCE，證得△ACD≌△BCE（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ACD=∠BEC，AD=BE，由M，N分別為AD，BE的中點，得到DM=EN，推出△MDC≌△NEC（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CM=CN∠DMC=∠NCE，求出∠MCN=60°，即可得到結(jié)論．

解答 證明：∵△ABC和△CDE為正三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CD=CE，
∴∠BCD=180°-∠BCA-∠DCE=60°，
∴∠BCD+∠DCE=∠BCD+∠BCA，
即∠DCA=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠DCA=∠BCE}\\{EC=DC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ACD=∠BEC，AD=BE，
∵M，N分別為AD，BE的中點，
∴DM=EN，
在△MDC和△NEC中 $\left\{\begin{array}{l}{DM=EN}\\{∠ACD=∠BEC}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△MDC≌△NEC（SAS），
∴CM=CN∠DMC=∠NCE，
∵∠NCE+∠DCN=60°，
∴∠MCD+∠DCN=60°，
即∠MCN=60°，
在△MNC中，MC=NC，MCN=60°，
∴△CMN為正三角形．

點評 本題查看了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，線段中點的定義，三角形的內(nèi)角和定理，準確的找出全等三角形是解題的關(guān)鍵．