Question

已知拋物線y₁=x²-（m+4）x+2（m+1）和y₂=-x²+4x-6．
（1）求證：不論m取何值，拋物線y₁的頂點(diǎn)總在拋物線y₂上；
（2）當(dāng)拋物線y₁經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，求y₁的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，將頂點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線y₂的解析式，求出y₂的值與y₁頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等即可證明；
（2）將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y₁的解析式，求出m的值，即可得到y(tǒng)₁的解析式．

解答：證明：（1）∵y₁=x²-（m+4）x+2（m+1），
∴頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：

m+4

2

，縱坐標(biāo)為：

4×2(m+1)-(m+4)2

4

=-

m2+8

4

．
當(dāng)x=

m+4

2

時(shí)，y₂=-x²+4x-6=-（

m+4

2

）²+4（

m+4

2

）-6=-

m2+8

4

．
故不論m取何值，拋物線y₁的頂點(diǎn)總在拋物線y₂上；

（2）∵拋物線y₁經(jīng)過原點(diǎn)，
∴2（m+1）=0，
解得m=-1，
∴y₁的解析式為y₁=x²-3x．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，難度適中．求出拋物線y₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．