Question

如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q，連接BQ，
（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ．
（2）當(dāng)△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6時(shí)，求BQ的長(zhǎng)度．
（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，AD=AQ（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合）．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，對(duì)角線平分一組對(duì)角線可得∠DAC=∠BAC，然后利用“邊角邊”證明即可；
（2）過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，根據(jù)三角形的面積列式求出QE，再判斷出△AEQ是等腰直角三角形，然后求出AE=EQ，再求出DE，然后利用勾股定理列式計(jì)算求出DQ，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BQ=DQ；
（3）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADQ=∠AQD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CPQ=∠ADQ，然后求出∠CQP=∠CPQ，再根據(jù)等角對(duì)等邊可得CP=CQ．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠DAC=∠BAC，
在△ADQ和△ABQ中，

AB=AD ∠DAC=∠BAC AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）解：如圖，過點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，
∵△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6，
∴S_△ADQ=

1

2

×6QE=

1

6

×6²，
解得QE=2，
∵∠DAC=

1

2

∠BAD=45°，
∴△AEQ是等腰直角三角形，
∴AE=EQ=2，
∴DE=AD-AE=6-2=4，
在Rt△DEQ中，DQ=

DE2+QE2

=

42+22

=2

5

，
∵△ADQ≌△ABQ，
∴BQ=DQ=2

5

；

（3）解：∵AD=AQ，
∴∠ADQ=∠AQD，
∵正方形的對(duì)邊AD∥BC，
∴∠CPQ=∠ADQ，
又∵∠AQD=∠CQP（對(duì)頂角相等），
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CP=CQ，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，
∴AC=6

2

，
∴CP=6

2

-6，
故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到距離點(diǎn)C6

2

-6時(shí)，AD=AQ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角和等角對(duì)等邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．