Question

【題目】如圖，在直角坐標(biāo)系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸上，OA=4，AB=3．動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，沿AO向終點O移動；同時點N從點O出發(fā)，以每秒1.25個單位長度的速度，沿OB向終點B移動．當(dāng)兩個動點運動了x秒（0＜x＜4）時，解答下列問題：

（1）求點N的坐標(biāo)（用含x的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)△OMN的面積是S，求S與x之間的函數(shù)表達式；當(dāng)x為何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）在兩個動點運動過程中，是否存在某一時刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：根據(jù)題意得：MA=x，ON=1.25x，

在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB= = =5，

作NP⊥OA于P，如圖1所示：

則NP∥AB，

∴△OPN∽△OAB，

∴ ，

即 ，

解得：OP=x，PN= ，

∴點N的坐標(biāo)是（x， ）

（2）

解：在△OMN中，OM=4﹣x，OM邊上的高PN= ，

∴S= OMPN= （4﹣x） =﹣ x2+ x，

∴S與x之間的函數(shù)表達式為S=﹣ x2+ x（0＜x＜4），

配方得：S=﹣ （x﹣2）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴S有最大值，

當(dāng)x=2時，S有最大值，最大值是

（3）

解：存在某一時刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：

分兩種情況：①若∠OMN=90°，如圖2所示：

則MN∥AB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵MN∥AB，

∴△OMN∽△OAB，

∴ ，

即 ，

解得：x=2；

②若∠ONM=90°，如圖3所示：

則∠ONM=∠OAB，

此時OM=4﹣x，ON=1.25x，

∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，

∴△OMN∽△OBA，

∴ ，

即 ，

解得：x= ；

綜上所述：x的值是2秒或 秒

【解析】（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，則NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式 ，求出OP、PN，即可得出點N的坐標(biāo)；（2）由三角形的面積公式得出S是x的二次函數(shù)，即可得出S的最大值；（3）分兩種情況：①若∠OMN=90°，則MN∥AB，由平行線得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，則∠ONM=∠OAB，證出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．
【考點精析】掌握二次函數(shù)的最值和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．