Question

已知△ABC和△EPF都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠EFP=90°，AC=BC，EF=PF．如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，△EPF的邊FP也在直線l上，邊AC與邊EF重合．
（1）在圖1中，通過觀察、測量，猜想，寫出AB與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系．
答：AB與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是

 

、

 

；
（2）將△EPF沿直線l向左平移到圖2的位置時，EP交AC于點Q，連結AP，BQ．請你寫出BQ與AP所滿足的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由．
（3）將△EPF 沿直線l向左平移到圖3的位置時，EP的延長線交AC 的延長線于點Q，連結AP、BQ．你認
為（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）直接利用圖形得出AB與AP的數(shù)量關系和位置關系；
（2）根據(jù)題意得出△BCQ≌△ACP（SAS），進而得出BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系；
（3）根據(jù)題意得出△BCQ≌△ACP（SAS），進而得出BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系．

解答：解：（1）AB與AP的數(shù)量關系和位置關系分別是：AB=AP，AB⊥AP；
故答案為：AB=AP，AB⊥AP；

（2）BQ=AP，BQ⊥AP，
理由如下：
延長BQ交AP于點M
∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP=180°-∠ACB=90°
∴∠CQP=45°，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP（SAS）                            
∴BQ=AP，∠QBC=∠CAP，
∵∠CAP+∠APC=90°，
∴∠QBC+∠APC=90°，
∴∠BMP=90°，
∴BQ⊥AP；
                                         
（3）在（2）中所猜想的BQ與AP的數(shù)量關系和位置關系成立，
理由如下：
延長QB交AP于點N
∵∠EFP=90°，EF=PF，
∴∠E=∠EPF=45°，
∴∠QPC=∠EPF=45°，
∵∠ACB=90°
∴∠PCQ=180°-∠ACB=90°，
∴∠PQC=45°，
∴QC=PC，
在△BCQ和△ACP中，

BC=AC ∠BCQ=∠ACP CQ=CP

，
∴△BCQ≌△ACP（SAS），
∴BQ=AP∠BQC=∠APC，
∵∠APC+∠PAC=90°，
∴∠BQC+∠PAC=90°，
∴∠ANQ=90°，
∴BQ⊥AP．

點評：此題主要考查了幾何變換以及全等三角形的判定與性質等知識，得出△BCQ≌△ACP是解題關鍵．