Question

9．已知如圖所示，拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3與x軸交于A，B 兩點．且OA=OC．求：
（1）m的值與拋物線的函數(shù)表達(dá)式．
（2）在拋物線上是否存在另一點M，使△MAC≌△OAC？若存在求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）令x=0求出y的值得到OC的長度，然后表示出OA得到點A的坐標(biāo)，再把A點坐標(biāo)代入解析式得到關(guān)于m的方程，則解方程求出m的值，即可得到拋物線解析式；
（2）利用△OAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的判定，當(dāng)△MAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形時，△MAC≌△OAC，則點M為AC的垂直平分線與拋物線的交點，易得此時點M不能使△MAC為直角三角形，所以可判斷在拋物線上不存在另一點M，使△MAC≌△OAC．

解答 解：（1）∵x=0，y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3=m-3，
∴C（0，m-3），
∵OA=OC=m-3，
∴A（m-3，0），
把A（m-3，0）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+m-3得-$\frac{1}{2}$（m-3）²+m-3=0，解得m₁=5，m₂=3（舍去），
∴m的值為5，
∴拋物線為y=-$\frac{1}{2}$x²+2；
（2）在拋物線上不存在另一點M，使△MAC≌△OAC．理由如下：
∵△OAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，
∴當(dāng)△MAC是以AC為斜邊的等腰直角三角形時，△MAC≌△OAC，
則點M為AC的垂直平分線與拋物線的交點，于是此時△MAC不能為直角三角形，
∴在拋物線上不存在另一點M，使△MAC≌△OAC．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了全等三角形的判定．