Question

某數(shù)學興趣小組對線段上的動點問題進行探究，已知AB=8．
問題思考：
如圖1，點P為線段AB上的一個動點，分別以AP、BP為邊在同側作正方形APDC、BPEF．
（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和是定值嗎？若是，請求出；若不是，請求出這兩個正方形面積之和的最小值．
（2）分別連接AD、DF、AF，AF交DP于點K，當點P運動時，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在兩個面積始終相等的三角形？請說明理由．
問題拓展：
（3）如圖2，以AB為邊作正方形ABCD，動點P、Q在正方形ABCD的邊上運動，且PQ=8．若點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點D運動，求點P從A到D的運動過程中，PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長．
（4）如圖3，在“問題思考”中，若點M、N是線段AB上的兩點，且AM=BN=1，點G、H分別是邊CD、EF的中點，請直接寫出點P從M到N的運動過程中，GH的中點O所經(jīng)過的路徑的長及OM+OB的最小值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）設AP=x，則PB=1-x，根據(jù)正方形的面積公式得到這兩個正方形面積之和=x²+（8-x）²，配方得到2（x-4）²+32，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解．
（2）根據(jù)PE∥BF求得PK=

a(8-a)

8

，進而求得DK=PD-PK=a-

a(8-a)

8

=

a2

8

，然后根據(jù)面積公式即可求得．
（3）本問涉及點的運動軌跡．PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示；
（4）本問涉及點的運動軌跡．GH中點O的運動路徑是與AB平行且距離為3的線段XY上，如答圖4-1所示；然后利用軸對稱的性質(zhì)，求出OM+OB的最小值，如答圖4-2所示．

解答：解：（1）當點P運動時，這兩個正方形的面積之和不是定值．
設AP=x，則PB=8-x，
根據(jù)題意得這兩個正方形面積之和=x²+（8-x）²
=2x²-16x+64
=2（x-4）²+32，
所以當x=4時，這兩個正方形面積之和有最小值，最小值為32．

（2）存在兩個面積始終相等的三角形，它們是△APK與△DFK．
依題意畫出圖形，如答圖2所示．

設AP=a，則PB=BF=8-a．
∵PE∥BF，
∴

PK

BF

=

AP

AB

，即

PK

8-a

=

a

8

，
∴PK=

a(8-a)

8

，
∴DK=PD-PK=a-

a(8-a)

8

=

a2

8

，
∴S_△APK=

1

2

PK•PA=

1

2

•

a(8-a)

8

•a=

a2(8-a)

16

，S_△DFK=

1

2

DK•EF=

1

2

•

a2

8

•（8-a）=

a2(8-a)

16

，
∴S_△APK=S_△DFK．

（3）當點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D的線路，向點D運動時，不妨設點Q在DA邊上，
若點P在點A，點Q在點D，此時PQ的中點O即為DA邊的中點；
若點Q在DA邊上，且不在點D，則點P在AB上，且不在點A．
此時在Rt△APQ中，O為PQ的中點，所以AO=

1

2

PQ=4．
所以點O在以A為圓心，半徑為4，圓心角為90°的圓弧上．
PQ的中點O所經(jīng)過的路徑是三段半徑為4，圓心角為90°的圓弧，如答圖3所示：

所以PQ的中點O所經(jīng)過的路徑的長為：

3

4

×2π×4=6π．

（4）點O所經(jīng)過的路徑長為3，OM+OB的最小值為

113

．
如答圖4-1，分別過點G、O、H作AB的垂線，垂足分別為點R、S、T，則四邊形GRTH為梯形．

∵點O為中點，
∴OS=

1

2

（GR+HT）=

1

2

（AP+PB）=4，即OS為定值．
∴點O的運動路徑在與AB距離為4的平行線上．
∵MN=6，點P在線段MN上運動，且點O為GH中點，
∴點O的運動路徑為線段XY，XY=

1

2

MN=3，XY∥AB且平行線之間距離為4，點X與點A、點Y與點B之間的水平距離均為2.5．
如答圖4-2，作點M關于直線XY的對稱點M′，連接BM′，與XY交于點O．

由軸對稱性質(zhì)可知，此時OM+OB=BM′最�。�
在Rt△BMM′中，MM′=2×4=8，BM=7，由勾股定理得：BM′=

MM′2+BM2

=

113

．
∴OM+OB的最小值為

113

．

點評：本題是中考壓軸題，難度較大．解題難點在于分析動點的運動軌跡，需要很好的空間想象能力和作圖分析能力；此外本題還綜合考查了二次函數(shù)、整式運算、四邊形、中位線、相似、軸對稱與勾股定理等眾多知識點，是一道好題．