Question

10．如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分別為D，E，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，BE與DF，DC分別交于點(diǎn)G，H，∠ABE=∠CBE，AC=6cm．
（1）線段BH與AC相等嗎？若相等給予證明，若不相等請說明理由；
（2）求CE的長．

Answer 1

分析 （1）通過全等三角形的判定定理AAS證得△DBH≌△DCA，所以BH=AC，即線段BH與AC相等；
（2）根據(jù)已知條件推出△ABE≌△CBE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=AE，于是得到結(jié)果．

解答 解：（1）線段BH與AC相等．理由如下：
∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，
∴∠BCD=∠ABC=45°，∠CAD+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，
∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．
∵在△DBH與△DCA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DBH=∠DCA}\\{∠BDH=∠CDA}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DBH≌△DCA（AAS），
∴BH=AC，
即線段BH與AC相等；

（2）在△ABE與△CBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{∠AEB=∠CEB}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE，
∴CE=AE，
∵AC=6cm，
∴CE=3cm．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．關(guān)鍵是推出△DBH≌△DCA．