Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動(dòng)點(diǎn)M，N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，分別沿CA，CB向終點(diǎn)A，B移動(dòng)，點(diǎn)M的速度是每秒1cm，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2cm的速度沿BA向終點(diǎn)A移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜2.5）秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形可能與△BPN相似？此時(shí)點(diǎn)N的速度時(shí)多少？

Answer 1

分析 分兩種情況：①∠APM=∠B時(shí)，得出PM∥BC，得出比例式，解方程即可；②∠B=∠PMA時(shí)，求出∠APM=90°，由三角函數(shù)cosA得出方程，解方程求出t=$\frac{3}{2}$當(dāng)PN⊥BC時(shí)，△APM∽△PNB，此時(shí)BP=2t=3，由三角函數(shù)求出BN，得出CN，即可求出N的速度．

解答 解：①∠APM=∠B時(shí)，如圖1所示：
則PM∥BC，
∴$\frac{5-2t}{5}=\frac{4-t}{4}$，
解得：t=0（不合題意）；
②∠B=∠PMA時(shí)，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠A+∠PMA=90°，
∴∠APM=90°，
由cosA=$\frac{4}{5}$=$\frac{5-t}{4-t}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$；
當(dāng)PN⊥BC時(shí)，△APM∽△PNB，
此時(shí)BP=2t=3，BN=BP•cosB=3×$\frac{3}{5}$=$\frac{9}{5}$，
∴CN=3-$\frac{9}{5}$=$\frac{6}{5}$，
∴N的速度v=$\frac{6}{5}$÷$\frac{3}{2}$=$\frac{4}{5}$；
PN⊥AB時(shí)，此時(shí)BP=3，BN=$\frac{3}{\frac{3}{5}}$=5＞BC，
∴不存在．
綜上所述：當(dāng)t=$\frac{3}{2}$s時(shí)，以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△BPN相似，此時(shí)點(diǎn)N的速度是$\frac{4}{5}$cm/s．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)；由相似三角形得出比例式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．