Question

10．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE∥BC，BD⊥CE于點(diǎn)D，BD交AC于F，連結(jié)EF．求證：BF=CE+EF．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)BA，CE交于E，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ACB=45°，∠HAF=90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EAF=∠ACB=∠ABC=∠EAH=45°，根據(jù)預(yù)計(jì)歐的性質(zhì)得到∠1=∠4，推出△ABF≌△ACH，由全等三角形的性質(zhì)得到BF=CH，AF=AH，通過(guò)△AEF≌△AEH，得到EF=HE，于是得到結(jié)論．

解答 證明：延長(zhǎng)BA，CE交于E，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，∠HAF=90°，
∵AE∥BC，
∴∠EAF=∠ACB=∠ABC=∠EAH=45°，
∵∠1+∠2=∠3+∠4=90°，∠2=∠3，
∴∠1=∠4，
在△ABF與△ACH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠CAH}\\{AB=AC}\\{∠1=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ACH，
∴BF=CH，AF=AH，
在△AEF與△AEH中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=AF}\\{∠HAE=∠FAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AEH，
∴EF=HE，
∴BF=CH=CE+HE=CE+EF．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．