Question

16．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，△CDE的邊CE在射線AC上，CE＜AC，∠DCE=90°，CD=CA，沿CA方向平移△CDE，使點C移動到點A，得到△ABF，過點F作FG⊥BC，垂足為點G，連接EG，DG．
（1）如圖1，邊CE在線段AC上，求證：GC=GF；
（2）在以下A，B兩題中任選一題解答，我選擇A題．
A．在圖1中，求證：△EFG≌△DCG；
B．如圖2，邊CE在線段AC的延長線上，其余條件不變．
①在圖2中，求證：△EFG≌△DCG；
②若∠CDE=20°，直接寫出∠CGE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)即可組織三角形全等的條件；
（2）與（1）類似，運用等腰直角三角形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)組織全等的條件．

解答 證明：（1）如圖1，

∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵FG⊥CG，
∴∠FGC=90°，
∴∠GCF+∠GFC=90°，
∴∠GCF=45°=∠GCF，
∴GC=GF，
∵∠DCE=90°
∴∠DCG=90°-45°=45°
∴∠DCG=∠GCF，
∵平移△CDE，得到△ABF，
∴CA=EF，
∵CD=CA，
∴CD=EF，
在△EFG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=DG}\\{∠EFG=∠DCG}\\{GF=GC}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DCG；
（2）①如圖2，
與（1）同理可證：GC=GF，∠GCF=∠GFC=45°
∵∠DCE=90°，
∴∠DCF=90°
∴∠DCG=90°-∠GCF=45°
∴∠DCG=∠GFC
∵△ABF由△CDE平移得到，
∴EC=FA
∴EF=CA
∵AC=CD
∴EF=CD
在△EFG和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=CD}\\{∠EFG=∠DCG}\\{GF=GC}\end{array}\right.$，
∴△EFG≌△DCG．
②∠CGE=20°．（設(shè)CD交EG于O，只要證明△DOE∽△GOC即可）

點評 此題主要考查三角形全等的證明，認(rèn)真觀察圖形，結(jié)合已知（等腰直角三角形和平移）組織三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．