Question

已知：如圖，直線MN⊥PQ于點(diǎn)C，△ACB是直角三角形，且∠ACB=90°，斜邊AB交直線PQ于點(diǎn)D，CE平分∠ACN，∠BDC的平分線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∠A=36°．
（1）如圖1，當(dāng)AB∥MN時(shí)，求∠F的度數(shù)．
（2）如圖2，當(dāng)△ACB繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度（即AB與MN不平行），其他條件不變，問(wèn)∠F的度數(shù)是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線的性質(zhì),三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB∥MN，直線MN⊥PQ，CE平分∠ACN，DF平分∠CDB，易求得∠DCE與∠CDF的度數(shù)，然后利用三角形外角的性質(zhì)，求得∠F的度數(shù)．
（2）由題意可得∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+

1

2

∠ACN，∠CDF=

1

2

∠BDC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACD，則可得∠F=∠DCE-∠CDF=∠ACD+

1

2

∠ACN-

1

2

∠A-

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACN+∠ACD）-

1

2

∠A，繼而求得答案．

解答：解：（1）∵AB∥MN，直線MN⊥PQ，
∴PQ⊥AB，
∴∠BDC=∠DCN=90°，
∵∠ACN=∠A=36°，CE平分∠ACN，
∴∠ACE=18°，∠ACD=90°-∠A=54°，
∴∠DCE=∠ACD+○ACE=72°，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF=45°，
∴∠F=∠DCE-∠CDF=27°；

（2）不發(fā)生改變．
理由：∵CE是∠ACN的平分線，
∴∠ACE=

1

2

∠ACN，
∴∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+

1

2

∠ACN，
∵∠BDC=∠A+∠ACD，DF平分∠BDC，
∴∠CDF=

1

2

∠BDC=

1

2

∠A+

1

2

∠ACD，
∴∠F=∠DCE-∠CDF=∠ACD+

1

2

∠ACN-

1

2

∠A-

1

2

∠ACD=

1

2

（∠ACN+∠ACD）-

1

2

∠A=

1

2

×90°-

1

2

×36°=27°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義以及三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．