Question

在△ABC，D為BC中點(diǎn)，AD=AC，DE⊥BC，與AB交于E，EC與AD交于F，求證：AF=FD．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：作AG⊥CD，交CD于G，交CE于H，連接DH，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得AG垂直平分CD，進(jìn)而求得CH=DH，∠BCE=∠CDH．根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)求得CE=BE，
根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠BCE=∠B，從而證得∠B=∠CDH．得出AB∥DH．進(jìn)一步求得AG∥DE，根據(jù)平行四邊形的概念得出四邊形AHDE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AF=DF．

解答：證明：如圖，作AG⊥CD，交CD于G，交CE于H，連接DH，
∵AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形．
又∵AG⊥CD，
∴AG垂直平分CD，
∴CH=DH，
∴∠BCE=∠CDH．
∵D為BC的中點(diǎn)，DE垂直平分BC，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠B，
∴∠B=∠CDH．
∴AB∥DH．
∵AG⊥BC，DE⊥BC，
∴AG∥DE，
∵AB∥DH，AG∥DE，
∴四邊形AHDE是平行四邊形，
∴AF=DF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等，熟練掌握性質(zhì)定理是關(guān)鍵．