Question

【探究發(fā)現(xiàn)】
按圖中方式將大小不同的兩個正方形放在一起，分別求出陰影部分（△ACF）的面積．
（單位：厘米，陰影部分的面積依次用S₁、S₂、S₃表示） 
（1）S₁=

 

cm²；     S₂=

 

cm²；          S₃=

 

cm²．
（2）上題中，重新設(shè)定正方形ABCD的邊長，AB=

 

cm，并再次分別求出陰影部分（△ACF）的面積：
     S₁=

 

cm²；  S₂=

 

cm²；  S₃=

 

cm²．
（3）歸納總結(jié)你的發(fā)現(xiàn)：

 

【推理反思】
按（圖甲）中方式將大小不同的兩個正方形放在一起，設(shè)小正方形的邊長是bcm，大正方形的邊長是a cm，求：陰影部分（△ACF）的面積．

【應(yīng)用拓展】
（1）按（圖甲）方式將大小不同的兩個正方形放在一起，若大正方形的面積是80cm²，則圖甲中陰影三角形的面積是

 

cm²．
（2）如圖乙，C是線段AB上任意一點，分別以AC、BC為邊在線段AB同側(cè)構(gòu)造等邊三角形△ACD和等邊三角形△CBE，若△CBE的面積是1cm²，則圖乙中陰影三角形的面積是

 

 cm²．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）利用面積的和差求陰影部分（△ACF）的面積：S₁=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，S₂=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF；S₃=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，然后把大小正方形的邊長分別代入計算即可；
（2）若AB=20cm時，與（1）一樣方法計算；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}；
【推理反思】
可以與（1）的方法一樣得到S_△ACF=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF，再把大小正方形的邊長分別代入即可得到S_△ACF=

1

2

a²；
也可以連接DF，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠EDF=∠DCA=45°，則DF∥AC，所以S_△AFC=S_△ADC；
【應(yīng)用拓展】
（1）根據(jù)推理反思的結(jié)論計算；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠ACD=∠CBE=60°，則CD∥BE，然后根據(jù)同底等高的兩個三角形的面積相等求解．

解答：解：【探究發(fā)現(xiàn)】
（1）S₁=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×2×（10-2）+2×2+

1

2

×10×10-

1

2

×2×（2+10）=8+4+50-12=50（cm²）；
S₂=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×4×（10-4）+4×4+

1

2

×10×10-

1

2

×4×（4+10）=12+16+50-28=50（cm²）；
S₃=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×8×（10-8）+8×8+

1

2

×10×10-

1

2

×8×（8+10）=8+64+50-72=50（cm²）；
（2）若AB=20cm，
S₁=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×2×（20-2）+2×2+

1

2

×20×20-

1

2

×2×（2+20）=18+4+200-22=200（cm²）；
S₂=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×4×（20-4）+4×4+

1

2

×20×20-

1

2

×4×（4+20）=32+16+200-48=200（cm²）；
S₃=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×8×（20-8）+8×8+

1

2

×20×20-

1

2

×8×（8+20）=48+64+200-72=200（cm²）；
（3）歸納總結(jié)得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}．
故答案為50，50，50；200，200，200；S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}；
【推理反思】
S_△ACF=S_{四邊形ACEF}-S_△CEF=S_△AFG+S_{正方形DEFG}+S_△ADC-S_△CEF=

1

2

×b×（a-b）+b×b+

1

2

×a×a-

1

2

×b×（b+a）=

1

2

ab-

1

2

b²+b²+

1

2

a²-

1

2

b²-

1

2

ab=

1

2

a²；
【應(yīng)用拓展】
（1）由推理反思得S_△ACF=

1

2

S_{正方形ABCD}=

1

2

×80cm²=40cm²；
（2）∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，
∴∠ACD=60°，∠CBE=60°，
∴∠ACD=∠CBE，
∴CD∥BE，
∴S_△DEB=S_△CBE=1cm²．
故答案為40，1．

點評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)；會利用等底等高證明三角形的面積相等；理解分割法求幾何圖形的面積．