Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=mx²+（m+1）x-2m+2，若m為整數(shù)，拋物線y=mx²+（m+1）x-2m+2與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為整數(shù)，且拋物線與y=x+2圖象交點(diǎn)為A，B（A在B左側(cè)），拋物線上M點(diǎn)位于AB下方，當(dāng)△ABM面積最大時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo)及△ABM最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：令y=0，則mx²+（m+1）x-2m+2=0，解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=

m-1

m

，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為正整數(shù)，且m為整數(shù)，所以m只能取1，從而求得拋物線的解析式，然后求得與直線y=x+2的交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，設(shè)M（m，m²+2m），-2＜m＜1，直線x=m交AB：y=x+2于D（m，m+2），根據(jù)三角形面積公式得到S_△ABM=

1

2

DM（x_C-x_A），從而求得△ABM的面積的最大值，進(jìn)而求得M的坐標(biāo)；

解答：解：令y=0，則mx²+（m+1）x-2m+2=0，
解關(guān)于x的一元二次方程，得x₁=-2，x₂=

m-1

m

，
二次函數(shù)的圖象與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為正整數(shù)，且m為整數(shù)，
所以m只能取1，
所以拋物線的解析式為y=x²+2x，
解

y=x2+2x y=x+2

得

x=1 y=3

或

x=-2 y=0

，
則A（-2，0），B（1，3），
設(shè)M（m，m²+2m），-2＜m＜1，
直線x=m交AB：y=x+2于D（m，m+2），
∴S_△ABM=

1

2

DM（x_B-x_A）=

3

2

（-m²-m+2）=-

3

2

（m+

1

2

）²+

21

8

，
∴△ABM的面積的最大值是

21

8

．
此時(shí)m=-

1

2

，
∴M（-

1

2

，-

3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，三角形的面積，函數(shù)的最值，方程思想的運(yùn)用，熟悉根的判別式及二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．