Question

如圖，邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD的內(nèi)角∠B=60°，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)．E、F、G、H 分別在菱形ABCD的四條邊上，四邊形EBOF與四邊形HDOG關(guān)于直線AC對(duì)稱，且∠EOF=60°．
（1）當(dāng)四邊形EBFO與四邊形HDGO關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱時(shí)，判斷四邊形EFGH是什么四邊形，并給予證明；
（2）設(shè)四邊形EBFO的面積為S₁，四邊形FCGO的面積為S₂．若m=

2S1

S2

，求m的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì)證明四邊形EFGH的對(duì)角線相等且互相平分，即可證得四邊形EBFO是矩形；
（2）OE＞OF，取AB中點(diǎn)N，BC中點(diǎn)M，連結(jié)MN延長(zhǎng)交OF延長(zhǎng)線于K，首先證明△AOE≌△NOK得到NK=AE，AE=NK=x，利用x表示出S1和S2，即得到m關(guān)于x的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解答：解：（1）四邊形EFGH是矩形．
∵四邊形EBOF與四邊形HDOG關(guān)于直線AC對(duì)稱，
∴OE=OH，OF=OG．
∵四邊形EBFO與四邊形HDGO關(guān)于點(diǎn)O成中心對(duì)稱，
∴E，O，G在同一直線上，且OE=OG，
F，O，H在同一直線上，且OF=OH，
∴OE=OH=OF=OG，
∴四邊形EFGH對(duì)角線互相平分且相等．
∴四邊形EFGH是矩形；
（2）要使m最大，則OE＞OF．
因?yàn)樗倪呅蜤BFO的面積在E，F(xiàn)的移動(dòng)過程變化會(huì)出現(xiàn)重復(fù)，當(dāng)OE＞OF時(shí)四邊形FCGO的面積，比OE＜OF時(shí)四邊形FCGO的面積小．所以m的最大值會(huì)在OE＞OF時(shí)出現(xiàn)．
如圖，若OE＞OF，取AB中點(diǎn)N，BC中點(diǎn)M，連結(jié)MN延長(zhǎng)交OF延長(zhǎng)線于K．
∵△ABC為等邊三角形，
∴ON=OM=MN=AO=OC=

1

2

AB=2，
∴∠A=∠ONM=60°．
又∵∠AON=∠EOF=60°，
∴∠AON+∠EON=∠EOF+∠EON，
∴∠AOE=∠NOK，
∴在△AOE和△NOK中，

∠A=∠ONM ON=OA ∠AOE=∠NOK

∴△AOE≌△NOK．
∴NK=AE，
設(shè)AE=NK=x，則MK=x-2，
∵M(jìn)F∥NO，
∴

MF

NO

=

MK

NK

，
∴

MF

2

=

x-2

x

，
∴MF=

2(x-2)

x

，
∵S₁=S_△BEO+S_△BFO，
S_△BEO=

1

2

BE•AO•sin60°=

3

2

（4-x），
S_△BFO=

1

2

BF•CO•sin60°=

3

2

[2+

2(x-2)

x

]．
∴S1=

3

2

[4-x+2+

2(x+2)

x

]=

3 (-x2+8x-4)

2x

，
∵S_△AFC=

1

2

S₂，
S_△AFC=

1

2

CF•CO•sin60°=

1

2

[2-

2(x-2)

x

]•

3

=

2 3

x

，
∴m=

2S1

S2

=

S1

1 2 S2

=

3 (-x2+8x-4) 2x

2 3 x

=-

1

4

（x-4）²+3．
∴當(dāng)x=4時(shí)，即AE=4時(shí)m取最大值為3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱以及中心對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，正確得到關(guān)于x的函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．