Question

如圖1，AB為⊙O的直徑，C為

BD

的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，
（1）求證：CE為⊙O的切線；
（2）在如圖2中，若sin∠BCF=

1

2

，求tan∠AEO．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）由C為弧BD的中點(diǎn)，得到兩條弧相等，利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等，再由OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到OC與AE平行，根據(jù)AE垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得證；
（2）連接BC，OE，過O作OG⊥AE，由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到四邊形EGOC為矩形，利用矩形的對(duì)邊相等得到EC=OG，EG=OC=OA，根據(jù)已知等式利用特殊角的三角函數(shù)值求出∠BCF的度數(shù)，利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到∠BAC的度數(shù)，確定出∠EAB的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠AEO，等量代換得到tan∠AEO=sin∠EAB，求出即可．

解答：（1）證明：∵C為弧BD的中點(diǎn)，
∴

CD

=

BC

，
∴∠EAC=

1

2

∠BOC，
∴∠EAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，
∵CE⊥AE，
∴CE⊥OC，
則CE為圓O的切線；
（2）解：連接BC，OE，過O作OG⊥AE，
∵∠OGE=∠AEF=∠OCE=90°，
∴四邊形EGOC為矩形，
∴EC=OG，EG=OC=OA，
∵sin∠BCF=

1

2

，
∴∠BCF=∠CAF=30°（弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角），
∴∠EAC=∠CAF=30°，即∠EAF=60°，
在Rt△OEG和Rt△AOG中，
tan∠AEO=

OG

EG

=

OG

OC

=

OG

OA

=sin∠EAF=sin60°=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，圓周角定理，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．