Question

6．一次函數(shù)y=-$\frac{3}{4}$x的圖象如圖所示，它與二次函數(shù)y=ax²+4ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸交于點(diǎn)C． 
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D．
①若點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，且△ACD的面積等于3，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．
②若CD=AC，且△ACD的面積等于10，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對稱軸方程可知x=-2，將x=-2代入y=$-\frac{3}{4}$x得：y=$-\frac{3}{4}×（-2）$=$\frac{3}{2}$，從而可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，$\frac{3}{2}$）；
（2）①根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)可知D（-2，$-\frac{3}{2}$），從而得到CD=3，然后三角形的面積公式可求得CD邊上的高，故此可知得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，從而可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²-$\frac{3}{2}$，將（0，0）代入得：a=$\frac{3}{8}$．拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}（x+2）^{2}-\frac{3}{2}$；
②如圖所示，過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E．設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，m），則CD=|m-$\frac{3}{2}$|，由△ACD的面積為10，可知$\frac{1}{2}×（m-\frac{3}{2}）×\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$=10，從而求得：m=6.5或m=-3.5，故此可求得點(diǎn)D與點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后利用待定系數(shù)法求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線的對稱軸方程為x=-$\frac{2a}$，
∴拋物線的對稱軸為x=-$\frac{4a}{2a}$=-2．
∵將x=-2代入y=$-\frac{3}{4}$x得：y=$-\frac{3}{4}×（-2）$=$\frac{3}{2}$，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，$\frac{3}{2}$）．
（2）①∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，$-\frac{3}{2}$）．
∴CD=3．
設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)A到CD的距離=（x+2）．
∵△ACD的面積等于3，
∴$\frac{1}{2}CD×（x+2）$=3．
解得：x=0．
將x=0代入y=-$\frac{3}{4}$x得：y=0．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²-$\frac{3}{2}$，將（0，0）代入得；4a-$\frac{3}{2}$=0，解得：a=$\frac{3}{8}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{3}{8}（x+2）^{2}-\frac{3}{2}$．
②如圖所示，過點(diǎn)A作AE⊥DC，垂足為E．

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，m），則CD=|m-$\frac{3}{2}$|．
∵DC=AC，
∴AC=|m-$\frac{3}{2}$|．
∵EA∥x軸，
∴∠COF=∠CAE．
∴AE=$\frac{4}{5}$AC=|$\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$|．
∵△ACD的面積為10，
∴$\frac{1}{2}CD•AE$=10，即$\frac{1}{2}×（m-\frac{3}{2}）×\frac{4}{5}（m-\frac{3}{2}）$=10．
解得：m=6.5或m=-3.5．
當(dāng)m=6.5時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，6.5）．
AE=$\frac{4}{5}$×（6.5-1.5）=4．
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2+4=2．
將x=2代入y=-$\frac{3}{4}x$得；y=$-\frac{3}{4}×2$=-$\frac{3}{2}$．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²+6.5，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：16a+6.5=-1.5．
解得：a=-$\frac{1}{2}$．
∴拋物線的解析式為y=$-\frac{1}{2}（x+2）^{2}+6.5$．
當(dāng)m=-3.5時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-3.5）．
AE=$\frac{4}{5}×[1.5-（-3.5）]$=4．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，-$\frac{3}{2}$）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）²-3.5，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入得：16a-3.5=-1.5．
解得：a=$\frac{1}{8}$．
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{8}$（x+2）²-3.5．

點(diǎn)評 本題主要考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、關(guān)于x軸對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、三角形的面積公式，根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．