Question

17．已知數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)數(shù)分別為a和b，且a、b滿足等式（a+9）²+|7-b|=0，P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)數(shù)為x．
（1）求線段AB的長(zhǎng)．
（2）數(shù)軸上是否存在P點(diǎn)，使PA=3PB？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是線段AB，PB的中點(diǎn)，試求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于零，可得每個(gè)非負(fù)數(shù)同時(shí)為零，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是大數(shù)減小數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)線段的和差，可得關(guān)于PB的方程，根據(jù)解方程，可得PB的長(zhǎng)，根據(jù)數(shù)軸上的兩點(diǎn)間的距離，可得x；
（3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MB，NB，根據(jù)線段的和差，可得答案．

解答 解：（1）由（a+9）²+|7-b|=0，得
a+9=0，7-b=0．
解得a=-9，b=7．
線段AB的長(zhǎng)為b-a=7-（-9）=16；
（2）當(dāng)P在AB上時(shí)，PA+PB=AB，即3PB+PB=AB，
即PB=4，
7-x=4，解得x=3；
當(dāng)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，PA-PB=AB，
3PB-PB=AB，
PB=8，
x=7+8=15；
（3）當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖1；
，
點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是線段AB，PB的中點(diǎn)，得
MB=$\frac{1}{2}$AB=8，BN=$\frac{1}{2}$PB=2．
由線段的和差，得
MN=MB-NB=8-2=6；
當(dāng)P在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2；
，
點(diǎn)M、點(diǎn)N分別是線段AB，PB的中點(diǎn)，得
MB=$\frac{1}{2}$AB=8，BN=$\frac{1}{2}$PB=4．
由線段的和差，得
MN=MB-NB=8+4=12．
綜上所述：MN的長(zhǎng)為6或12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段的和差得PB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵，又利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，要分類討論，以防遺漏．