Question

8．如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC、CD上運(yùn)動，且∠EAF=60°且E、F不與B、C、D重合，連接AC交EF于P點(diǎn)．
（1）證明：不論E、F在BC、CD上如何運(yùn)動，總有BE=CF；
（2）當(dāng)BE=1時，求AP的長；
（3）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC、CD上滑動時，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大（或最小）值．

Answer 1

分析 （1）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠4=60°，AC=AB進(jìn)而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；
（2）首先利用勾股定理得出AE的長，進(jìn)而得出△AEF是等邊三角形，進(jìn)而得出△APF∽△AFC，進(jìn)而求出AP的長；
（3）根據(jù)△ABE≌△ACF可得S_△ABE=S_△ACF，故根據(jù)S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC即可解題；當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，正三角形AEF的面積會最小，又根據(jù)S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會最大．

解答 （1）證明：如圖1，∵菱形ABCD，∠BAD=120°，
∵∠1+∠EAC=60°，∠3+∠EAC=60°，
∴∠1=∠3，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°
∴△ABC、△ACD為等邊三角形
∴∠4=60°，AC=AB，
∴在△ABE和△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{AB=AC}\\{∠ABC=∠4}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF．

（2）解：如圖2，過點(diǎn)E作EM⊥AB于點(diǎn)M，
∵BE=1，∠B=60°，∠BME=90°，
∴BM=$\frac{1}{2}$，則ME=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AM=$\frac{7}{2}$
∴AE=$\sqrt{A{M}^{2}+M{E}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
由（1）得：AE=AF，
又∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AF=$\sqrt{13}$，∠AFP=60°，
∴∠AFP=∠4，
又∵∠3=∠3，
∴△APF∽△AFC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{AP}{AF}$，
∴$\frac{\sqrt{13}}{4}$=$\frac{AP}{\sqrt{13}}$，
解得：AP=$\frac{13}{4}$；

（3）解：四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化．
理由：由（1）得△ABE≌△ACF，
則S_△ABE=S_△ACF，
故S_{四邊形AECF}=S_△AEC+S_△ACF
=S_△AEC+S_△ABE=S_△ABC，是定值，
如圖3，作AH⊥BC于H點(diǎn)，
則BH=2，
S_{四邊形AECF}=S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AH
=$\frac{1}{2}$BC•$\sqrt{A{B}^{2}-B{H}^{2}}$
=4$\sqrt{3}$，
由“垂線段最短”可知，
當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時，邊AE最短．
故△AEF的面積會隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時，
正三角形AEF的面積會最小，
又S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF，則△CEF的面積就會最大．
則S_△CEF=S_{四邊形AECF}-S_△AEF
=4$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$
=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了四邊形綜合、菱形的性質(zhì)、全等三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積的計算以及勾股定理等知識，利用菱形的性質(zhì)進(jìn)而得出△ABE≌△ACF是解題的關(guān)鍵．