Question

3．如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，頂點(diǎn)到x軸的距離為3，拋物線與x軸交于原點(diǎn)O（0，0）及點(diǎn)A，且OA=4．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到OA′，試判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+3，由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，進(jìn)而求出a的值即可；
（2）設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），先求出直線OA′的解析式，根據(jù)OA′=OA=4，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，進(jìn)而判斷點(diǎn)A′是否在該拋物線上．

解答 解：（1）根據(jù)題意可知：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-3），
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²-3，
由于拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
即4a-3=0，
解得a=$\frac{3}{4}$．
故拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-2）²-3；
（2）設(shè)點(diǎn)A′坐標(biāo)為（x，y），
則直線OA′的解析式為y=-x①，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OA′=OA=4，
即x²+y²=16②，
由①②可得x=2$\sqrt{2}$，y=-2$\sqrt{2}$，
即點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$），
把點(diǎn)A′坐標(biāo)為（2$\sqrt{2}$，-2$\sqrt{2}$）代入解析式y(tǒng)=$\frac{3}{4}$（x-2）²-3；
-2$\sqrt{2}$≠$\frac{3}{4}$（2$\sqrt{2}$-2）²-3，
即點(diǎn)A′不在該拋物線上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，此題涉及到求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解答（2）的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A′坐標(biāo)，此題難度一般．