Question

如圖，在△ABC中，∠B=2∠C，D是三角形內(nèi)一點(diǎn)，AB=AD，BD=DC，求證：∠ACD=30°．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),等腰梯形的性質(zhì)

專題：

分析：如圖所示，作∠ACE=∠ACB交BC的平行線AE于E．構(gòu)建等腰梯形ABCE．利用等腰梯形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SAS證得△ABD≌△ECD，則易證△ADE是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理來(lái)求∠ACD=∠3=30°．

解答：解：如圖所示，作∠ACE=∠ACB交BC的平行線AE于E，連接DE．
∴∠BCE=2∠ACB=∠ABC，
∴四邊形ABCE的等腰梯形，
∴AB=CE．
又∵BD=CD，
∴∠6=∠7，
∴∠4=∠DCE，
在△ABD與△ECD中，

AB=EC ∠4=∠ECD BD=CD

，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴DE=AD=AB=CE．
∵AE∥BC，
∴∠8=∠ACB=∠9，
∴AE=CE=DE=AD，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠DAE=∠1+∠8=∠1+∠ACB=60°，
∴3（∠1+∠ACB）=3∠1+3∠ACB=3∠1+（∠ABC+∠ACB）=3∠1+（180°-∠BAC）=180°，
∴∠BAC=3∠1，
∴∠2=2∠1，
∴∠4=∠5=∠CDE=

180°-∠2

2

90°-∠1，
∴∠5+∠ADE+∠CDE=240°-2∠1，
∴∠BDC=360°-（240°-2∠1）=120°+2∠1．
∵∠6=∠7=∠ACB-∠3=60°-∠1-∠3，
又∵在△BDC中，∠6+∠7+∠BDC=180°
∴2（60°-∠1-∠3）+（120°+2∠1）=180°
∴2∠3=60°
即∠ACD=∠3=30°．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，難度較大，需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有一系統(tǒng)的掌握．