Question

如圖1，點(diǎn)O為直線(xiàn)AB上一點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作射線(xiàn)OC，使∠AOC：∠BOC=1：3，將一直角△MON的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線(xiàn)OB上，另一邊ON在直線(xiàn)AB的下方．繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△MON，其中旋轉(zhuǎn)的角度為α（0＜α＜360°）．
（1）將圖1中的直角△MON旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線(xiàn)OB上，此時(shí)α為

 

度；
（2）將圖1中的直角△MON旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿(mǎn)足什么等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）在上述直角△MON從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過(guò)程中，若直角△MON繞點(diǎn)O按每秒25°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直角△MON的直角邊ON所在直線(xiàn)恰好平分∠AOC時(shí)，求此時(shí)直角△MON繞點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

考點(diǎn)：幾何變換綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)∠MON的度數(shù)，可得ON旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)∠AOC：∠BOC=1：3，可得∠AOC的度數(shù)，根據(jù)角的和差，可得∠AON與∠CON的關(guān)系，再根據(jù)∠AON與∠AOM的關(guān)系，可得答案；
（3）分類(lèi)討論，ON在∠AOC的平分線(xiàn)上，ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)平分∠AOC，可得相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的速度，可得旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．

解答：解：（1）將圖1中的直角△MON旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線(xiàn)OB上，此時(shí)α為 270度，
故答案為：270；
（2）解：∠AOM-∠NOC=45°，理由如下：
∵∠AOC：∠BOC=1：3，∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠AOC=45°，∠BOC=135°，
∴∠AON+∠NOC=45°，∠AON=45°-∠NOC
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠AOM=90°．
∴45°-∠NOC+∠AOM=90°，
即∠AOM-∠NOC=45°．
（3）解：①當(dāng)ON平分∠AOC時(shí)，由（2）可知：∠AOC=45°，
∴∠AON+∠NOC=45°．
∵ON平分∠AOC，
∴∠AON=∠NOC=22.5°，
∵∠MON=90°，
∴旋轉(zhuǎn)角度為：90°+22.5°=112.5°，
∴t=

112.5

25

=4.5s．
②當(dāng)ON的反向延長(zhǎng)線(xiàn)平分∠AOC時(shí)，旋轉(zhuǎn)112.5°的基礎(chǔ)上，再旋轉(zhuǎn)180°，
∴旋轉(zhuǎn)角度為：112.5°+180°=292.5°．
∴t=

292.5

25

=11.7s．
綜上所述：t=4.5s或t=11.7s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何變換綜合題，利用了旋轉(zhuǎn)角，角的和差關(guān)系，分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．