Question

【題目】已知：如圖，一次函數(shù)y=－2x與二次函數(shù)y＝ax2＋2ax＋c的圖像交于A、B兩點(點A在點B的右側(cè))，與其對稱軸交于點C．

（1）求點C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)二次函數(shù)圖像的頂點為D，點C與點D關(guān)于 x軸對稱，且△ACD的面積等于2.

① 求二次函數(shù)的解析式；

② 在該二次函數(shù)圖像的對稱軸上求一點P（寫出其坐標(biāo)），使△PBC與△ACD相似.

Answer 1

【答案】（1）C點的坐標(biāo)為（－1，2）；

（2）①y＝2x2＋4x； ②點P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1， ）

【解析】（1）由拋物線的對稱軸方程可知x=-1，將x=-1代入y=－2x得：y=2，從而可知點C的坐標(biāo)為（-1，2）；

（2）①根據(jù)關(guān)于x軸對稱的坐標(biāo)特點可知D（-1，-2)，從而得到CD=4，然后三角形的面積公式可求得CD邊上的高，故此可知得到點A的坐標(biāo)為（0，0），設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)＝a(x+1)2－2過點A，即可得：a=2，從而得出拋物線的解析式；②利用兩個三角形相似求出P點的坐標(biāo).

解：（1）∵y＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，∴它的對稱軸為x＝－1．

又∵一次函數(shù)y=－2x與對稱軸交于點C，∴y＝2．

∴C點的坐標(biāo)為（－1，2）．

（2）①∵點C與點D 關(guān)于x軸對稱，∴點D的坐標(biāo)為（－1，－2）．

∴CD=4，∵△ACD的面積等于2．

∴點A到CD的距離為1，C點與原點重合，點A的坐標(biāo)為（0，0）

設(shè)二次函數(shù)為y＝a(x+1)2－2過點A，則a＝2,

∴y＝2x2＋4x．

②交點B的坐標(biāo)為（－3，6）．

當(dāng)△PBD∽△CAD，點P的坐標(biāo)為（－1， 10），

當(dāng)△PBD∽△ACD，點P的坐標(biāo)為（－1，），

∴點P的坐標(biāo)為（－1， 10），（－1，）.

“點睛”本題主要考查的是一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)、關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點、利用相似三角形的性質(zhì)求出點P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.