Question

如圖，點A和點B分別在x軸和y軸上，且OA=OB=4，直線BC交x軸于點C，已知S_△BOC=S_△ABC，
（1）求直線BC的解析式；
（2）在直線BC上求作一點P，使四邊形OBAP為平行四邊形（尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）；
（3直線BC上是否存在點M，使△OAM為等腰三角形？若存在，求點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據三角形BOC面積與三角形ABC面積相等，得到C為OA的中點，確定出C坐標，設直線BC解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；
（2）以A為圓心，OB長為半徑在第四象限畫弧，以O為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P，利用兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形得到ABOP為平行四邊形；
（3）以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與BC交于點M，以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，設M（x，y），利用兩點間的距離公式列出方程，與直線BC解析式聯立求出M坐標，同理求出M′坐標即可．

解答：解：（1）∵S_△BOC=S_△ABC，且兩三角形同高，
∴OC=AC=

1

2

OA=2，
設直線BC解析式為y=kx+b，
將C（2，0）和B（0，4）代入得：

2k+b=0 b=4

，
解得：k=-2，b=4，
則直線BC解析式為y=-2x+4；
（2）如圖所示：以A為圓心，OB長為半徑在第四象限畫弧，以O為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點P，
則四邊形ABOP為所求的平行四邊形；
（3）直線BC上存在點M，使△OAM為等腰三角形，
以A為圓心，OA長為半徑畫弧，與BC交于點M，以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，如圖所示，
設M（x，y），由AM=OA=4，得到

(x-4)2+y2

=4，即（x-4）²+y²=16，
與直線BC解析式聯立得：

y=-2x+4 (x-4)2+y2=16

，
消去y得：5x²-24x+16=0，即（5x-4）（x-4）=0，
解得：x=

4

5

或x=4（不合題意，舍去），
將x=

4

5

代入得：y=-

8

5

+4=

12

5

，
此時M坐標為（

4

5

，

12

5

）；
以O為圓心，OA長為半徑畫弧，與CP交于M′，
設M′（m，n），由OM′=OA=4，得到m²+n²=16，
聯立得：

n=-2m+4 m2+n2=16

，
消去n，整理得：m（5m-16）=0，
解得：m=

16

5

或m=0（不合題意，舍去），
將m=

16

5

代入得：n=-

12

5

，
此時M′（

16

5

，-

12

5

）．

點評：此題屬于一次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法求一次函數解析式，平行四邊形的判定，等腰三角形的性質，兩點間的距離公式，熟練掌握待定系數法是解本題第一問的關鍵．