Question

如圖1，AB是⊙O的直徑，射線BM⊥AB，垂足為B，點(diǎn)C為射線BM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（C與B不重合），連結(jié)AC交⊙O于D，過點(diǎn)D作⊙O的切線交BC于E．

（1）若DE∥AB時(shí)（如圖1），求∠ACB的度數(shù)；
（2）在C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中（如圖2），試比較線段CE與BE的大小，并說明理由；
（3）如圖2，當(dāng)AB=5，AD=3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)由DE為⊙O的切線得∠ODE=90°，由于BM⊥AB，DE∥AB，可判斷四邊形OBED為正方形，則∠BOE=90°，于是得到△ADO為等腰直角三角形，所以∠A=45°，然后利用互余即可得到∠ACB=45°；
（2）如圖2，根據(jù)切線的判定定理得到EB為⊙O的切線，則根據(jù)切線長(zhǎng)定理得ED=DB，則利用等腰三角形的性質(zhì)得∠1=∠2；再根據(jù)圓周角定理由AB是⊙O的直徑得∠ADB=90°，利用等角的余角線段有∠3=∠4，所以ED=EC，于是得到CE=BE；
（3）如圖2，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出BD=4，再證明Rt△ABD∽R(shí)t△ACB，利用相似比計(jì)算出AC=

25

3

，然后在Rt△ABC中，再利用勾股定理計(jì)算出
BC=

20

3

，然后利用（2）中的結(jié)論即可得到DE=

1

2

BC=

10

3

．

解答：解：（1）連接OD，如圖，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，
∵BM⊥AB，DE∥AB，
∴∠DEB=∠ABE=90°，
而OD=OB，
∴四邊形OBED為正方形，
∴∠BOE=90°，
∴△ADO為等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴∠ACB=45°；
（2）CE=BE．理由如下：
如圖2，∵AB是⊙O的直徑，射線BM⊥AB，
∴EB為⊙O的切線，
而DE為⊙O的切線，
∴ED=DB，
∴∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴ED=EC，
∴CE=BE；
（3）如圖2，在Rt△ADB中，AB=5，AD=3，
∴BD=

AB2-AD2

=4，
∵∠DAB=∠BAC，
∴Rt△ABD∽R(shí)t△ACB，
∴

AB

AC

=

AD

AB

，即

5

AC

=

3

5

，
∴AC=

25

3

，
在Rt△ABC中，
BC=

AC2-AB2

=

20

3

，
∴DE=

1

2

BC=

10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正方形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長(zhǎng)．