Question

1．如圖1，0A=3，0B=6，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)在第四象限作等腰直角三角形△ABC．
（1）求C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）在第四象限是否存在一點(diǎn)P．使△PAB≌△CAB？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）如圖2，Q為y軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)Q點(diǎn)向y鈾負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以Q為頂點(diǎn)，在第三象限作等腰三角形△ADQ，過D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，下列兩個(gè)結(jié)論：①OQ-DE的值不變，②OQ+DE的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請(qǐng)你判斷哪一個(gè)結(jié)論正確，說出你的理由并求出其值．

Answer 1

分析 （1）證△OBA≌△EAC，推出CE=OA=3，AE=OB=6，即可求出C的坐標(biāo)；
（2）過P作PQ⊥y軸于Q，證出△PQB≌△BOA，推出BQ=OA=3，PQ=OB=6，求出OQ=9，即可得出P的坐標(biāo)；
（3）過D作DF⊥y軸于F，求出∠FDQ=∠FQA，根據(jù)AAS證△DFQ≌△AOQ，推出FQ=AO=3，推出四邊形DEOF是矩形，得到DE=OF，即可求出OQ-DE=FQ=3，得出答案即可．

解答 解：（1）過C作CE⊥x軸于E，如圖1所示：
則∠AEC=90°=∠AOB，
∵∠BAC=90°，
∴∠OAB+∠EAC=90°，∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAC，
在△OBA和△EAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAC}&{\;}\\{∠AOB=∠AEC}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAC（AAS），
∴CE=OA=3，AE=OB=6，
∴OE=3+6=9，
∴C（9，-3）；
（2）在第四象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△PAB≌△CAB，
過P作PQ⊥y軸于Q，如圖2所示：
∵與（1）中證明△OBA≌△EAC類似證出△PQB≌△BOA，
BQ=OA=3，PQ=OB=6，OQ=6+3=9，
∴P的坐標(biāo)是（6，-9），
∴在第四象限內(nèi)存在一點(diǎn)P，使△PAB≌△CAB，P的坐標(biāo)是（6，-9）；
（3）①OQ-DE的值不變正確，理由如下：
過D作DF⊥y軸于F，如圖3所示：
∵∠DFQ=∠DQA=90°，
∴∠FDQ+∠FQD=90°，∠FQD+∠FQA=90°，
∴∠FDQ=∠FQA，
∵在△DFQ和△AOQ中
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFQ=∠AOQ}\\{∠FDQ=∠AQO}\\{QA=DQ}\end{array}\right.$，
∴△DFQ≌△AOQ（AAS），
∴FQ=AO=3，
∵∠EOF=∠DFQ=∠DEO=90°，
∴四邊形DEOF是矩形，
∴DE=OF，
∴OQ-DE=FQ=3，
即OQ-DE的值不變，OQ-DE=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，題目綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．