Question

18．如圖1，在平行四邊形ABCD中，連接BD，AD=6cm，BD=8cm，∠DBC=90°，現(xiàn)將△AEF沿BD的方向勻速平移，速度為2cm/s，同時(shí)，點(diǎn)G從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC的方向勻速移動(dòng)，速度為2cm/s．當(dāng)△AEF停止移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)G也停止運(yùn)動(dòng)，連接AD，AG，EG，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H，如圖2所示，設(shè)△AEF的移動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4）．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求EH的長(zhǎng)度；
（2）若EG⊥AG，求證：EG²=AE•HG；
（3）設(shè)△AGD的面積為y（cm²），當(dāng)t為何值時(shí)，y可取得最大值，并求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求出AB的長(zhǎng)，證明△DEH∽△DCB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，計(jì)算即可；
（2）證明△AGE∽△EHG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{EG}{HG}$=$\frac{AE}{EG}$，整理即可；
（3）根據(jù)△DEH∽△DCB，求出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到答案．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，又∠DBC=90°，
∴∠ADB=90°，又AD=6cm，BD=8cm，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=10cm，
當(dāng)t=1時(shí)，EB=2cm，
則DE=8-2=6cm，
∵EH⊥CD，∠DBC=90°，
∴△DEH∽△DCB，
∴$\frac{DE}{DC}$=$\frac{EH}{BC}$，即$\frac{6}{10}$=$\frac{EH}{6}$，
解得，EH=3.6cm；
（2）∵∠CDB=∠AEF，
∴AE∥CD，
∴∠AEG=∠EGH，又EG⊥AG，EH⊥CD，
∴△AGE∽△EHG，
∴$\frac{EG}{HG}$=$\frac{AE}{EG}$，
∴EG²=AE•HG；
（3）由（1）得，△DEH∽△DCB，
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{EH}{BC}$，即$\frac{8-2t}{10}$=$\frac{EH}{6}$，
解得，EH=$\frac{24-6t}{5}$，
∴y=$\frac{1}{2}$×DG×EH=$\frac{-6{t}^{2}+24}{5}$=-$\frac{6}{5}$t²+$\frac{24}{5}$t=-$\frac{6}{5}$（t-2）²+$\frac{24}{5}$，
∴當(dāng)t=2時(shí)，y的最大值為$\frac{24}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理以及二次函數(shù)的最值的求法是解題的關(guān)鍵，注意配方法把二次函數(shù)的一般式化為頂點(diǎn)式的靈活運(yùn)用．