Question

10．在Rt△ABC中，∠C=90°，M是AB的中點(diǎn)，PM⊥MQ，P，Q分別在邊AC，BC上．
（1）嘗試探究：在如圖1中，若AC=BC，連結(jié)CM后，請(qǐng)?zhí)骄縋M與MQ的數(shù)量關(guān)系是PM=MQ，并加以證明；
（2）類比延伸：如圖2，在原題條件下，BC=kAC，試探究PM與MQ的數(shù)量關(guān)系是PM=kMQ；
（3）拓展探究：如圖3，在原題條件下，試寫出AP，PQ，BQ三者之間的關(guān)系PA²+BQ²=PQ²．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：PM=PQ，圖1中，連接MC，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PMC=∠BMQ，推出△PMC≌△BMQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
（2）結(jié)論：PM=kMQ，圖2中，作MF⊥BC，ME⊥C垂足分別為F、E，由△PMQ∽△FMQ得$\frac{PM}{MF}=\frac{EM}{MF}$，因?yàn)锳M=MB，MF∥CA，ME∥BC，所以BF=CF，AE=EC，所以EM=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，即可得出結(jié)論．
（3）結(jié)論：PA²+BQ²=PQ²，圖3中，延長(zhǎng)PM到E使得PM=ME，連接BE，QE，由△AMP≌△BME得AP=BE，∠A=∠MBE，再證明∠QBE=90°，在RT△BQE中利用勾股定理即可．

解答 （1）結(jié)論：PM=MQ，理由如下：
證明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴∠ACM=45°，
∴∠B=∠ACM，CM=BM=$\frac{1}{2}$AB，∠CMB=90°，
∵∠EMD=90°，
∴∠PMC=∠BMQ，
在△PMC與△BMQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BMQ}\\{CM=BM}\\{∠PCM=∠B}\end{array}\right.$，
∴△PMC≌△BMQ，
∴MP=MQ．
故答案為PM=MQ．
（2）結(jié)論：PM=kMQ，利用如下：
證明：作MF⊥BC，ME⊥C垂足分別為F、E．
∵∠MEC=∠C=∠MFC=90°，
∴四邊形MFCE是矩形，
∴∠EMF=∠PMQ=90°，
∴∠EMP=∠FMQ，
∴△PMQ∽△FMQ，
∴$\frac{PM}{MQ}=\frac{EM}{MF}$，
∵AM=MB，MF∥CA，ME∥BC，
∴BF=CF，AE=EC，
∴EM=$\frac{1}{2}$BC，MF=$\frac{1}{2}$AC，
∴$\frac{PM}{MQ}=\frac{EM}{MF}$=$\frac{BC}{AC}=k$．
∴PM=kMQ．
故答案為PM=kMQ．
（3）結(jié)論：PA²+BQ²=PQ²理由如下：
證明：延長(zhǎng)PM到E使得PM=ME，連接BE，QE．
在△AMP和△BME中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=MB}\\{∠AMP=∠BME}\\{PM=ME}\end{array}\right.$，
∴△AMP≌△BME，
∴AP=BE，∠A=∠MBE，
∵PM=ME，QM⊥PE，
∴QP=PE，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠MBE=90°，
∴∠QBE=90°，
∴QE²=QB²+BE²，
∴PA²+BQ²=PQ²．
故答案為PA²+BQ²=PQ²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考�？碱}型．