Question

1．某班課題學(xué)習(xí)小組對(duì)無(wú)蓋的紙杯進(jìn)行制作與探究，所要制作的紙杯如圖1所示，規(guī)格要求是：杯口直徑AB=6cm，杯底直徑CD=4cm，杯壁母線AC=BD=6cm．請(qǐng)你和他們一起解決下列問題：
（1）小顧同學(xué)先畫出了紙杯的側(cè)面展開示意圖（如圖2，忽略拼接部分），得到圖形是圓環(huán)的一部分．
①圖2中弧EF的長(zhǎng)為6πcm，弧MN的長(zhǎng)為4πcm；
②要想準(zhǔn)確畫出紙杯側(cè)面的設(shè)計(jì)圖，需要確定弧MN所在圓的圓心O，如圖3所示．小顧同學(xué)發(fā)現(xiàn)有$\frac{\widehat{EF}的長(zhǎng)}{\widehat{MN}的長(zhǎng)}$=$\frac{OF}{ON}$，請(qǐng)你幫她證明這一結(jié)論．
③根據(jù)②中的結(jié)論，求弧MN所在圓的半徑r及它所對(duì)的圓心角的度數(shù)n．
（2）小顧同學(xué)計(jì)劃利用正方形紙片一張，按如圖甲所示的方式剪出這個(gè)紙杯的側(cè)面，求正方形紙片的邊長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①直接根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式計(jì)算；
②設(shè)它所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到$\widehat{EF}$的長(zhǎng)=$\frac{n•π•OF}{180}$，$\widehat{MN}$的長(zhǎng)=$\frac{n•π•ON}{180}$，然后把它們相比即可得到$\frac{\widehat{EF}的長(zhǎng)}{\widehat{MN}的長(zhǎng)}$=$\frac{OF}{ON}$；
③由（2）中的結(jié)論得到得$\frac{OF}{ON}$=$\frac{6π}{4π}$=$\frac{3}{2}$，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧長(zhǎng)公式得到$\frac{n•π•12}{180}$=4π，于是可求出n=60°；
（2）如圖4，連結(jié)EF，OB，它們相交于點(diǎn)P，先證明△OEF為等邊三角形得到EF=OF=18，再證明Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，則BE=BF，于是可判斷OB垂直平分EF，所以PF=$\frac{1}{2}$EF=9，由勾股定理計(jì)算出OP=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$，由△PFB為等腰直角三角形和得到PB=PF=9，則OB=9$\sqrt{3}$+9，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)得OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$．

解答 （1）解：①如圖2，弧EF的長(zhǎng)為6πcm，弧MN的長(zhǎng)為4πcm；
故答案為6π，4π；
②證明：如圖3，設(shè)它所對(duì)的圓心角的度數(shù)為n，
$\widehat{EF}$的長(zhǎng)=$\frac{n•π•OF}{180}$，$\widehat{MN}$的長(zhǎng)=$\frac{n•π•ON}{180}$，
所以$\frac{\widehat{EF}的長(zhǎng)}{\widehat{MN}的長(zhǎng)}$=$\frac{OF}{ON}$；
③由（2）得$\frac{OF}{ON}$=$\frac{6π}{4π}$=$\frac{3}{2}$，
而OF=ON+6，
解得ON=12，
即r=12，
因?yàn)?\frac{n•π•12}{180}$=4π，
解得n=60°；
（2）解：如圖4，連結(jié)EF，OB，它們相交于點(diǎn)P，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OA=OC，∠OBC=45°，
∵∠OEF=60°，OE=OF，
∴△OEF為等邊三角形，
∴EF=OF=18，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OA=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，
∴BE=BF，
∴OB垂直平分EF，
∴PF=$\frac{1}{2}$EF=9，
∴OP=$\sqrt{1{8}^{2}-{9}^{2}}$=9$\sqrt{3}$，
∵△PFB為等腰直角三角形，
∴PB=PF=9，
∴OB=9$\sqrt{3}$+9，
∴OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$，
即正方形紙片的邊長(zhǎng)為$\frac{9\sqrt{6}+9\sqrt{2}}{2}$cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；記住弧長(zhǎng)公式；學(xué)會(huì)把幾何題展開成平面圖形的方法解決幾何體的問題．