Question

5．如圖，點(diǎn)A是反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}（{k＜0}）$圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥x軸于點(diǎn)B，且△AOB的面積為2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，m）．
（1）求m和k的值．
（2）若一次函數(shù)y=ax+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，交雙曲線的另一支于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，求△AOC的面積．
（3）在y軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的面積為6？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，利用△AOB的面積即可求出m值，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，計(jì)算即可得到k的值．
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，然后聯(lián)立方程求得交點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求得OD的長(zhǎng)，根據(jù)S_△AOC=S_△AOD+S_△COD求得即可；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），根據(jù)題意有：$\frac{1}{2}×|{c-3}|×1+\frac{1}{2}×|{c-3}|×4=6$，解方程即可求得．

解答 解（1）依題意得$\frac{1}{2}×1×m=2$
∴m=4，
∴A（-1，4），
把點(diǎn)A（-1，4）代入$y=\frac{k}{x}$得$4=\frac{k}{-1}$，
∴k=-4；
（2）把A（-1，4）代入y=ax+3得：4=-a+3，解得a=-1，
∴y=-x+3，
又∵反比例函數(shù)的表達(dá)式為$y=-\frac{4}{x}$
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{4}{x}\\ y=-x+3\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=4\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=-1\end{array}\right.$
∴C的坐標(biāo)為（4，-1），
又∵當(dāng)x=0時(shí)y=-x+3=-0+3=3
∴OD=3，
∴S_△AOC=S_△AOD+S_△COD=$\frac{1}{2}×3×1+\frac{1}{2}×3×4=\frac{15}{2}$；
（3）存在，
理由：假設(shè)存在，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）有：$\frac{1}{2}×|{c-3}|×1+\frac{1}{2}×|{c-3}|×4=6$，
解得$c=\frac{3}{5}$或$c=\frac{27}{5}$，
∴$P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，\frac{3}{5}）或（0，\frac{27}{5}）$
故存在P點(diǎn)使得△PAC的面積為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，即過雙曲線上任意一點(diǎn)引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|．