【題目】綜合探究
問題情境:
我們在第十一章《三角形》中學(xué)習(xí)了三角形的邊與角的性質(zhì),在第十二章《全等三角形》中學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定.在一些探究題中經(jīng)常用以上知識轉(zhuǎn)化角和邊,進(jìn)而解決問題.
問題初探:
如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)D為直線AB上的一個動點(diǎn)(D與A,B不重合),連接CD,以CD為直角邊作等腰直角三角形CDE,連接BE.
(1)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時,AD與BE的數(shù)量關(guān)系是 ;位置關(guān)系是 ;AB,BD,BE三條線段之間的關(guān)系是 .
類比再探:
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到AB的延長線上時,AD與BE還存在(1)中的位置關(guān)系嗎?若存在,請說明理由.同時探索AB,BD,BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
能力提升:
(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動到BA的延長線上時,若AB=7,AD=2,則AE= .
【答案】(1)相等,垂直,AB=BD+BE;(2)成立,AB= BE-BD;(3)9.
【解析】
(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,即可證明△ADC≌△BEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(2)同理可得結(jié)論;
(3)同理可證:△AEC≌△BDC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=BD=AB+AD,即可得到結(jié)論.
(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°.
∵△DCE是等腰直角三角形,∴CD=CE,∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,∴△ADC≌△BEC,∴AD=BE,∠A=∠CBE=45°,∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°,∴AB⊥BE.
∵AD=BE,∴AB=AD+BD=BD+BE.
故答案為:相等,垂直,AB=BD+BE.
(2)成立,AB= BE-BD.理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,∴AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°.
∵△DCE是等腰直角三角形,∴CD=CE,∠DCE=90°,∴∠ACD=∠BCE.
在△ADC和△BEC中,∵AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,∴△ADC≌△BEC,∴AD=BE,∠A=∠CBE=45°,∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°,∴AB⊥BE.
∵AD=BE,∴AB=AD-BD= BE-BD.
故答案為:垂直,AB= BE-BD.
(3)同理可證:△AEC≌△BDC,∴AE=BD,∴AE=AB+AD=7+2=9.
故答案為:9.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某烤鴨店在確定烤鴨的烤制時間時,主要依據(jù)的是如表數(shù)據(jù):
鴨的質(zhì)量/千克 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 |
烤制時間/分鐘 | 40 | 60 | 80 | 100 | 120 | 140 | 160 |
設(shè)鴨的質(zhì)量為x千克,烤制時間為t,估計當(dāng)x=2.2千克時,t的值為_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】早晨,小明步行到離家900米的學(xué)校去上學(xué),到學(xué)校時發(fā)現(xiàn)眼鏡忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學(xué)校.已知小明步行從學(xué)校到家所用的時間比他騎自行車從家到學(xué)校所用的時間多10分鐘,小明騎自行車速度是步行速度的3倍.
(1)求小明步行速度(單位:米/分)是多少;
(2)下午放學(xué)后,小明騎自行車回到家,然后步行去圖書館,如果小明騎自行車和步行的速度不變,小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學(xué)校到家時間的2倍,那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一段拋物線:,記為,它與x軸交于點(diǎn)O,;將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得,交x軸于點(diǎn);將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得,交x軸于點(diǎn);如此進(jìn)行下去,得到一“波浪線”,若點(diǎn)在此“波浪線”上,則m的值為
A. 4 B. C. D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為保護(hù)和改善環(huán)境,發(fā)展新經(jīng)濟(jì),國家出臺了不限行、不限購等諸多新能源汽車優(yōu)惠政策鼓勵新能源汽車的發(fā)展,為響應(yīng)號召,某市某汽車專賣店銷售A,B兩種型號的新能源汽車共25輛,這兩種型號的新能源汽車的進(jìn)價、售價如下表:
進(jìn)價萬元輛 | 售價萬元輛 | |
A型 | 10 | |
B型 | 15 |
如何進(jìn)貨,進(jìn)貨款恰好為325萬元?
如何進(jìn)貨,該專賣店售完A,B兩種型號的新能源汽車后獲利最多且不超過進(jìn)貨價的,此時利潤為多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某市市民“綠色出行”方式的情況,某校數(shù)學(xué)興趣小組以問卷調(diào)查的形式,隨機(jī)調(diào)查了某市部分出行市民的主要出行方式(參與問卷調(diào)查的市民都只從以下五個種類中選擇一類),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖.
種類 | A | B | C | D | E |
出行方式 | 共享單車 | 步行 | 公交車 | 的士 | 私家車 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)參與本次問卷調(diào)查的市民共有 人,其中選擇B類的人數(shù)有 人;
(2)在扇形統(tǒng)計圖中,求A類對應(yīng)扇形圓心角α的度數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)該市約有12萬人出行,若將A,B,C這三類出行方式均視為“綠色出行”方式,請估計該市“綠色出行”方式的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對一個矩形ABCD及給出如下定義:在同一平面內(nèi),如果上存在一點(diǎn),使得這點(diǎn)到矩形ABCD的四個頂點(diǎn)的距離相等,那么稱矩形ABCD是的“隨從矩形”如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:交x軸于點(diǎn)M,的半徑為4,矩形ABCD沿直線運(yùn)動在直線l上,,軸,當(dāng)矩形ABCD是的“隨從矩形”時,點(diǎn)A的坐標(biāo)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(8分)將一張長方形紙條ABCD按如圖所示折疊,若折疊角∠FEC=64°.
(1)求∠1的度數(shù);
(2)求證:△EFG是等腰三角形.
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