Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，對于的橫長、縱長、縱橫比給出如下定義：

將中的最大值，稱為的橫長，記作；將中的最大值，稱為的縱長，記作；將叫做的縱橫比，記作．

例如：如圖的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則，

所以．

如圖2，點(diǎn)，

點(diǎn)，

則的縱橫比______

的縱橫比______；

點(diǎn)F在第四象限，若的縱橫比為1，寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；

點(diǎn)M是雙曲線上一個(gè)動點(diǎn)，若的縱橫比為1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

如圖3，點(diǎn)以為圓心，1為半徑，點(diǎn)N是上一個(gè)動點(diǎn)，直接寫出的縱橫比的取值范圍．

Answer 1

【答案】 1

【解析】分析：（1）①根據(jù)縱橫比的定義計(jì)算即可；
②點(diǎn)F在第四象限的角平分線上即可；
③分三種情形討論即可．
（2）如圖3中，當(dāng)當(dāng)時(shí)，可得的縱橫比的最大值，

當(dāng)與相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得的縱橫比的最小值.

詳解：

由題意的縱橫比的縱橫比，

故答案為．

由點(diǎn)F在第四象限，若的縱橫比為1，則在第四象限的角平分線上即可．

如圖設(shè)

a、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，則，

此時(shí)的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

或舍棄，

，

．

b、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，則，

此時(shí)的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

舍棄，

c、當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M在上，則，

此時(shí)的橫長的縱長為，

的縱橫比為1，

，

或舍棄，

，

，

綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為或

如圖3中，當(dāng)時(shí)，可得的縱橫比的最大值，

當(dāng)與相切時(shí)，切點(diǎn)在第二象限時(shí)，可得的縱橫比的最小值，

，

，

，

，易知，作于H．

，

，

此時(shí)的縱橫比，

．