Question

如圖，點A是⊙O上一點，OA⊥AB，且OA=1，AB=

3

，OB交⊙O于點D，作AC⊥OB，垂足為M，并交⊙O于點C，連接BC．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）過點B作BP⊥OB，交OA的延長線于點P，連接PD，求sin∠BPD的值．

Answer 1

考點：切線的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OC，根據(jù)垂徑定理由AC⊥OB得AM=CM，于是可判斷OB為線段AC的垂直平分線，所以BA=BC，然后利用“SSS”證明△OAB≌△OCB，得到∠OAB=∠OCB，由于∠OAB=90°，則∠OCB=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得BC是⊙O的切線；
（2）在Rt△OAB中，根據(jù)勾股定理計算出OB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠ABO=30°，∠AOB=60°，在Rt△PBO中，由∠BPO=30°得到PB=

3

OB=2

3

；在Rt△PBD中，BD=OB-OD=1，根據(jù)勾股定理計算出PD=

13

，然后利用正弦的定義求sin∠BPD的值．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，如圖，
∵AC⊥OB，
∴AM=CM，
∴OB為線段AC的垂直平分線，
∴BA=BC，
在△OAB和△OCB中

OA=OC OB=OB BA=BC

，
∴△OAB≌△OCB（SSS），
∴∠OAB=∠OCB，
∵OA⊥AB，
∴∠OAB=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
故BC是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OAB中，OA=1，AB=

3

，
∴OB=

AB2+OA2

=2，
∴∠ABO=30°，∠AOB=60°，
∵PB⊥OB，
∴∠PBO=90°，∠BPO=30°，
在Rt△PBO中，OB=2，
∴PB=

3

OB=2

3

，
在Rt△PBD中，BD=OB-OD=2-1=1，PB=2

3

，
∴PD=

PB2+BD2

=

13

，
∴sin∠BPD=

BD

PD

=

1

13

=

13

13

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì)．