【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點,直線軸交于點為二次函數(shù)圖象上任一點.

求這個二次函數(shù)的解析式;

若點在直線的上方,過分別作軸的垂線,交直線于不同的兩點(的左側(cè)),求周長的最大值;

是否存在點使得是以為直角邊的直角三角形?如果存在,直接寫出點的坐標;如果不存在,請說明理由.

【答案】最大值為;存在,

【解析】

1)如圖1,運用待定系數(shù)法求這個二次函數(shù)的解析式;

2)如圖2,先求直線BC的解析式為yx2,設(shè)出點E的坐標,寫出點G的坐標(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),求出EG的長,證明△EFG∽△DOB,根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比表示△EFG周長=(﹣m2+2m+8)= [﹣(m12+9],根據(jù)二次函數(shù)的頂點確定其最值;

3)分二種情況討論:分別以D、B兩個頂點為直角時,列方程組,求出點E的坐標,根據(jù)兩垂直直線的一次項系數(shù)為負倒數(shù)得出結(jié)論.

解:(1)如圖1,把A(﹣1,0),B4,0),C(﹣2,﹣3)代入yax2+bx+c中,得:

,

解得:

則二次函數(shù)的解析式y=﹣x2+x+2;

2)如圖2,設(shè)直線BC的解析式為ykx+b

B4,0),C(﹣2,﹣3)代入ykx+b中得:

,

解得:

∴直線BC的解析式為yx2,

設(shè)Em,﹣m2+m+2),﹣2m4,

EGy軸,

EG的縱坐標相等,

∵點G在直線BC上,

y=﹣m2+m+2時,

m2+m+2x2,

解得:x=﹣m2+3m+8,

G(﹣m2+3m+8,﹣m2+m+2),

EG=﹣m2+3m+8m=﹣m2+2m+8

EGAB,

∴∠EGF=∠OBD

∵∠EFG=∠BOD90°,

∴△EFG∽△DOB

,

D0,﹣2),B40),

OB4OD2,

BD2,

,

∴△EFG的周長=(﹣m2+2m+8),

[﹣(m12+9],

∴當m1時,△EFG周長最大,最大值是;

3)存在點E,

分兩種情況:

若∠EBD90°,則BDBE,如圖3,

設(shè)BD的解析式為:ykx+b

B4,0)、D0,﹣2)代入得:

,

解得:,

BD的解析式為:yx2,

∴設(shè)直線EB的解析式為:y=﹣2x+b,

B4,0)代入得:b8

∴直線EB的解析式為:y=﹣2x+8,

,

x2+x+2=﹣2x+8

解得:x13,x24(舍),

x3時,y=﹣2×3+82

E3,2),

BDDE時,即∠EDB90°,如圖4

同理得:DE的解析式為:y=﹣2x+b,

D0,﹣2)代入得:b=﹣2,

DE的解析式為:y=﹣2x2,

,

解得:

E8,﹣18)或(﹣10),

綜上所述,點E3,2)或(8,﹣18)或(﹣1,0),

故存在滿足條件的點E,點E的坐標為(3,2)或(﹣10)或(8,﹣18).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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【題目】對于題目:“如圖1,平面上,正方形內(nèi)有一長為12 、寬為6 的矩形,它可以在正方形的內(nèi)部及邊界通過移轉(zhuǎn)(即平移或旋轉(zhuǎn))的方式,自由地從橫放移轉(zhuǎn)到豎放,求正方形邊長的最小整數(shù)甲、乙、丙作了自認為邊長最小的正方形,先求出該邊長,再取最小整數(shù)

甲:如圖2,思路是當為矩形對角線長時就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=14

乙:如圖3,思路是當為矩形外接圓直徑長時就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=14

丙:如圖4,思路是當為矩形的長與寬之和的倍時就可移轉(zhuǎn)過去;結(jié)果取n=13

甲、乙、丙的思路和結(jié)果均正確的是___________

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】為了解某縣建檔立卡貧困戶對精準扶貧政策落實的滿意度,現(xiàn)從全縣建檔立卡貧困戶中隨機抽取了部分貧困戶進行了調(diào)查(把調(diào)查結(jié)果分為四個等級:A級:非常滿意;B級:滿意;C級:基本滿意;D級:不滿意),并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息解決下列問題:

1)本次抽樣調(diào)查測試的建檔立卡貧困戶的總戶數(shù)______.

2)圖1中,∠α的度數(shù)是______,并把圖2條形統(tǒng)計圖補充完整.

3)某縣建檔立卡貧困戶有10000戶,如果全部參加這次滿意度調(diào)查,請估計非常滿意的人數(shù)約為多少戶?

4)調(diào)查人員想從5戶建檔立卡貧困戶(分別記為)中隨機選取兩戶,調(diào)查他們對精準扶貧政策落實的滿意度,請用列表或畫樹狀圖的方法求出選中貧困戶的概率.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】問題發(fā)現(xiàn):

1)如圖1,在RtABC中,∠BAC=30°,∠ABC90°,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC BCD的度數(shù)是  ;線段BDAC之間的數(shù)量關(guān)系是  

類比探究:

2)在RtABC中,∠BAC=45°,∠ABC90°,將線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC,請問(1)中的結(jié)論還成立嗎?;

拓展延伸:

3)如圖3,在RtABC中,AB2AC4,∠BDC90°,若點P滿足PBPC,∠BPC90°,請直接寫出線段AP的長度.

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【題目】如圖,在平行四邊形中,,過點作邊的垂線的延長線于點,點是垂足,連接、,于點.則下列結(jié)論:四邊形是正方形;;;,正確的個數(shù)是( 。

A. B. C. D.

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1)本次隨機調(diào)查的學生人數(shù)是   人;

2)請你補全條形統(tǒng)計圖;

3)在扇形統(tǒng)計圖中,“B”所在扇形的圓心角為   度.

4)小濤和小華各自隨機參與其中的一個專項活動,請你用畫樹狀圖或列表的方式求他們恰好選中同一個專項活動的概率.

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【題目】如圖,將圓心角為120°的扇形AOB繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定的角度后,得到扇形AO′B′,使得點O′ 在上.

1)求作點O′;(尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法和證明過程)

2)連接AB、AB'AO′,求證:AO′平分∠BAB′

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【題目】隨著時代的不斷發(fā)展,新穎的網(wǎng)絡(luò)購進逐漸融入到人們的生活中,“拼一拼”電商平臺上提供了一種拼團購買方式,當拼團(單數(shù)不超過15單)成功后商家將會讓利一定的額度給予顧客實惠.現(xiàn)在某商家準備出手一種每件成本25/件的新產(chǎn)品,經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),單價y(單位:元)、日銷售量m(單位:件)與拼單數(shù)x(單位:單)之間存在著如表的數(shù)量關(guān)系:

拼單數(shù)x(單位:單)

2

4

8

12

單價y(單位:元)

34.50

34.00

33.00

32.00

日銷售量m(單位:件)

68

76

92

108

請根據(jù)以上提供的信息解決下列問題:

1)請直接寫出單價y和日銷售量m分別與拼單數(shù)x之間的一次函數(shù)關(guān)系式;

2)拼單數(shù)設(shè)置為多少單時的日銷售利潤最大,最大的銷售利潤是多少?

3)在實際銷售過程中,廠家希望能有更多的商品出售,因此對電商每銷售一件商品廠家就給予電商補助a元(a≤2),那么電商在獲得補助之日后日銷售利潤能夠隨單數(shù)x的增大而增大,那么a的取值范圍是什么?

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