Question

7．如圖，△ABC是等腰直角三角形，AB=$4\sqrt{2}$，D為斜邊BC上的一點（D與B、C均不重合），連結AD，把△ABD繞點A按逆時針旋轉后得到△ACE，連結DE，設BD=x．
（1）求證：∠DCE=90°；
（2）當△DCE的面積為6時，求x的值；
（3）當D在斜邊BC上運動時（D與B、C均不重合）四邊形ADCE的面積S是否隨著x的變化而變化？若變化，請求出S與x之間的函數(shù)關系式；若不變，求出S的值．

Answer 1

分析 （1）△ABC是等腰直角三角形，△ABD繞點A按逆時針旋轉后得到△ACE，得到∠ABD與∠ACE相等，進而得到∠ACE+∠ACD=90°即證得；
（2）由直角三角形到△ACE≌△ABD，從而得直角三角形的面積公式而解得；
（3）根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出△ABD的面積等于△ACE的面積，進而解答即可．

解答 解：（1）∵△ABD繞點A按逆時針旋轉后得到△ACE，
∴△ACE≌△ABD，
∴∠ABD=∠ACE，
又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC為斜邊，
∴∠ABD+∠ACD=90°，
∴∠ACE+∠ACD=90°，
即：∠DCE=90°；
（2）∵AC=AB=4$\sqrt{2}$，
∴BC²=AC²+AB²=$（4\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}=64$，
∴BC=8，
∵△ACE≌△ABD，∠DCE=90°，
∴CE=BD=x，而BC=8，
∴DC=8-x，
∴Rt△DCE的面積為：$\frac{1}{2}$DC•CE=$\frac{1}{2}$（8-x）x．
∴$\frac{1}{2}$（8-x）x=6，
即-x²+8x-12=0．
解得x=2或x=6；
（3）因為△ACE≌△ABD，
所以△ABD的面積等于△ACE的面積，
所以四邊形ADCE的面積S不變，
S=$\frac{1}{2}×4\sqrt{2}×4\sqrt{2}$=16．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，及一元二次方程、二次函數(shù)等基礎知識，考查等價轉換思想，運算求解等能力和創(chuàng)新意識等．