Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE⊥AB交BC于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)E，F(xiàn)在DA的延長線上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=

3

4

，求⊙O的直徑．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的外接圓與外心,勾股定理,圓周角定理,解直角三角形

專題：

分析：如圖，連接BE．利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得到BF=BD；然后根據(jù)圓周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直徑．利用銳角三角函數(shù)的定義可以來求BE的長度．

解答：解：如圖，連接BE．
∵AF=AD，AB⊥EF，
∴BF=BD．
∵AB=AC，
∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．
∵tan∠ABD=

3

4

，
∴tan∠E=tan∠FBA=

3

4

．
在Rt△ABF中，∠BAF=90°．
∵tan∠FBA=

AF

AB

=

3

4

，AF=3，
∴AB=4．
∵∠BAE=90°，
∴BE是⊙O的直徑．
∵tan∠E=tan∠FBA=

3

4

，AB=4，
∴設(shè)AB=3x，AE=4x，
∴BE=5x，
∵3x=4，
∴BE=5x=

20

3

，
即⊙O的直徑是

20

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的外接圓與外心、勾股定理、圓周角定理和解直角三角形．利用圓周角定理推知BE是圓O的直徑是解題的關(guān)鍵．