Question

1．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，點O是斜邊AB上一點，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E．
（1）連接OD，OE，求證：△ADO∽△OEB；
（2）當AC=2時，求⊙O的半徑；
（3）設AC=x，⊙O的半徑為y，求y與x的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）由已知條件易證∠A=∠EOB，∠ADO=∠OEB=90°，所以可證明△ADO∽△OEB；
（2）由△ABC是直角三角形，以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，可知OD∥BC，在△ADO中，解得半徑即可．
（3）由題意可知，OD∥BC，∠AOD=∠B，則兩角正切值相等，進而列出關系式．

解答 （1）證明：∵O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ADO=∠OEB=90°，
∵∠C=90°，
∴OE∥AC，
∴∠A=∠EOB，
∴△ADO∽△OEB；

（2）解：在△ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，
∵AC=2，
∴BC=6；
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形，
tan∠B=tan∠AOD=$\frac{AD}{OD}=\frac{2-OD}{OD}$=$\frac{1}{3}$，
解得OD=1.5，
∴圓的半徑為1.5；

（3）解：∵AC=x，BC=8-x，
在直角三角形ABC中，tanB=$\frac{AC}{BC}=\frac{x}{8-x}$
∵以O為圓心的⊙O分別與AC，BC相切于點D，E，
∴四邊形OECD是正方形．
tan∠AOD=tanB=$\frac{AC}{BC}=\frac{AD}{OD}$=$\frac{x-y}{y}$，
解得y=-$\frac{1}{8}$x²+x．

點評 本題考查了切線的性質．相似三角形的性質與判定以及銳角三角函數(shù)的運用，在運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形，證明三角形相似解決有關問題．