Question

7．如圖∠BAC=60°，半徑長(zhǎng)1的⊙0與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則△EDA面積的最大值為$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 當(dāng)外接圓的半徑最大時(shí)，△ADE的面積最大，連接AO并延長(zhǎng)，與圓O交于P點(diǎn)，此時(shí)△ADE外接圓的半徑最大，△ADE的面積最大，設(shè)圓O與AB相切于點(diǎn)M，連接OM，PD，由對(duì)稱性得到AF為角平分線，得到∠FAD為30度，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OM垂直于AD，在直角三角形AOM中，利用30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AO的長(zhǎng)，由AO+OP求出AP的長(zhǎng)，即為圓P的半徑，由三角形AED為等邊三角形，得到DP為角平分線，在直角三角形PFD中，利用30度所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出PF的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出FD的長(zhǎng)，由DE=2FD求出DE的長(zhǎng)，可得△ADE的面積．

解答 解：連接AO并延長(zhǎng)，與ED交于F點(diǎn)，與圓O交于P點(diǎn)，此時(shí)△ADE外接圓的半徑最大，
連接OM，PD，可得F為ED的中點(diǎn)，
∵∠BAC=60°，AE=AD，
∴△AED為等邊三角形，
∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，
在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，
∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，
在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，
∴PF=$\frac{3}{2}$，
根據(jù)勾股定理得：FD=$\sqrt{{PD}^{2}{-PF}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
DE=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}×3\sqrt{3}×3\sqrt{3}×sin60°$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$，
故答案為：$\frac{27\sqrt{3}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．