Question

如圖（1），AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上以1cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線(xiàn)段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．
（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)t=1時(shí)，△ACP與△BPQ是否全等，請(qǐng)說(shuō)明理由，并判斷此時(shí)線(xiàn)段PC和線(xiàn)段PQ的位置關(guān)系；
（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB=∠DBA=60°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為x cm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進(jìn)一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結(jié)論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②A(yíng)C=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，

AP=BQ ∠A=∠B AC=BP

∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即線(xiàn)段PC與線(xiàn)段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
則AC=BP，AP=BQ，

3=4-t t=xt

，
解得

t=1 x=1

；
②若△ACP≌△BQP，
則AC=BQ，AP=BP，

3=xt t=4-t

，
解得

t=2 x= 3 2

；
綜上所述，存在

t=1 x=1

或

t=2 x= 3 2

使得△ACP與△BPQ全等．

點(diǎn)評(píng)：此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，注意分類(lèi)討論思想的滲透．