Question

7．如圖，等邊△ABC的邊長為12cm，D為AC邊上一動點(diǎn)，E為AB延長線上一動點(diǎn)，DE交CB于P，點(diǎn)P為DE中點(diǎn)．
（1）求證：CD=BE；
（2）若DE⊥AC，求BP的長．

Answer 1

分析 （1）作DF∥AB交BC于F，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠A=∠ABC=∠C=60°，由平行線的性質(zhì)得出∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，證出△CDF是等邊三角形，得出CD=DF，由AAS證明△PDF≌△PEB，得出對應(yīng)邊相等DF=BE，即可得出結(jié)論；
（2）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出AD=$\frac{1}{2}$AE，證出BP=BE，得出BP=BE=CD，設(shè)BP=x，則BE=CD=x，AD=12-x，得出方程12+x=2（12-x），解方程即可．

解答 （1）證明：作DF∥AB交BC于F，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°，
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠A=60°，∠DFC=∠ABC=60°，∠DFP=∠EBP，
∴△CDF是等邊三角形，
∴CD=DF，
∵點(diǎn)P為DE中點(diǎn)，
∴PD=PE，
在△PDF和△PEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFD=∠PBE}&{\;}\\{∠DPF═∠EPB}&{\;}\\{PD=PE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△PDF≌△PEB（AAS），
∴DF=BE，
∴CD=BE；
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°，
∴∠E=90°-∠A=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AE，∠BPE=∠ACB-∠E=30°=∠E，
∴BP=BE，
由（1）得：CD=BE，
∴BP=BE=CD，
設(shè)BP=x，則BE=CD=x，AD=12-x，
∵AE=2AD，
∴12+x=2（12-x），
解得：x=4，
即BP的長為4．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度適中，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．